（浙江专用）新高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4 第4讲 简单的三角恒等变换高效演练分层突破-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第4讲简单的三角恒等变换[基础题组练]1．计算sin15°sin30°sin75°的值等于()A.B.C.D.解析：选C.原式＝sin15°cos15°＝×2sin15°cos15°＝sin30°＝.2．已知f(x)＝2tanx－，则f的值为()A．4B.C．4D．8解析：选D.因为f(x)＝2＝2×＝2×＝，所以f＝＝8.3．若sin＝，则cos等于()A.B．－C.D．－解析：选D.因为sin＝，cos＝sin2α＝－cos＝－cos2＝－＝2sin2－1＝－.4．已知α，β均为锐角，(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2，则α＋β为()A.B.C.D.解析：选B.由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2得tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ，所以tan(α＋β)＝＝＝1.因为0<α，β<，所以0<α＋β<π，所以α＋β＝.5．(2020·台州质检)4sin80°－等于()A.B．－C.D．2－3解析：选B.依题意，因为sin80°＝cos10°，所以4sin80°－＝＝＝＝＝＝－，选B.6．已知cos＋sinθ＝，则sin的值是()A.B.C．－D．－解析：选C.因为cos＋sinθ＝，所以cosθ＋sinθ＝，即＝，即sin＝，所以sin＝，1所以sin＝－sin＝－.故选C.7.－＝________．解析：原式＝＝＝tan30°＝.答案：8．(2020·温州中学高三模考)已知向量a＝(sinα＋cosα，1)，b＝(1，－2cosα)，a·b＝，α∈，则sinα＝________，cosα＝________．解析：由题设可得sinα＋cosα－2cosα＝，即sinα－cosα＝，联立sin2α＋cos2α＝1，由此可得sinα＝，cosα＝.答案：9．已知＝，tan(α－β)＝，则tanβ＝________．解析：因为＝，所以＝，＝1，所以tanα＝1，又因为tan(α－β)＝，所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝＝.答案：10．(2020·浙江省重点中学高三月考)请利用图1、图2中大矩形内部阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：________________________．解析：两个图的阴影部分面积相等，题图1中大矩形面积为S＝(cosα＋cosβ)(sinα＋sinβ)＝sin(α＋β)＋sinαcosα＋sinβcosβ，减去四个小直角三角形的面积得S1＝S－sinαcosα－sinβcosβ＝sin(α＋β)，题图2中阴影部分面积为S2＝sinαcosβ＋cosαsinβ.答案：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ11．已知tanα＝－，cosβ＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cosβ＝，β∈，得sinβ＝，tanβ＝2.所以tan(α＋β)＝＝＝1.因为α∈，β∈，所以<α＋β<，所以α＋β＝.12．已知tan2θ＝－2，π<2θ<2π，求的值．解：原式＝＝，又＋＝，所以原式＝＝tan＝.因为tan2θ＝＝－2，解得tanθ＝－或tanθ＝，又π<2θ<2π，所以<θ<π，所以tanθ＝－，所以原式＝＝3＋2.[综合题组练]21．已知sinα＝且α为第二象限角，则tan＝()A．－B．－C．－D．－解析：选D.由题意得cosα＝－，则sin2α＝－，cos2α＝2cos2α－1＝，所以tan2α＝－，所以tan＝＝＝－.2．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割均为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若m2＋n＝4，则＝()A．8B．4C．2D．1解析：选C.因为m＝2sin18°，若m2＋n＝4，则n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°，所以＝＝＝＝2.3．(2020·台州市书生中学检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知a－b＝2，c＝4，sinA＝2sinB，则△ABC的面积为________，sin(2A－B)＝________．解析：由sinA＝2sinB得，a＝2b，结合已知可知，a＝c＝4，b＝2，则cosA＝，sinA＝，S＝bcsinA＝，cosB＝＝，sinB＝，sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝2sinAcosAcosB－(cos2A－sin2A)sinB＝2×××－×＝.答案：4．设α∈，β∈，且5sinα＋5cosα＝8，sinβ＋cosβ＝2，则cos(α＋β)的值为________．解析：由5sinα＋5cosα＝8，得sin＝，因为α∈，α＋∈，所以cos＝.又β∈，β＋∈，由已知得sin＝.所以cos＝－.所以cos(α＋β)＝sin＝sin＝sincos＋cossin＝－.答案：－5．已知sinβ＝msin(2α＋β)，求证：tan(α＋β)＝·tanα.证明：因为sinβ＝msin(2α＋β)，所以sin[(α＋β)－α]＝msin[(α＋β)＋α]，所以sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝m[sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα]，3所以(1－m)sin(α＋β)cosα＝(1＋m)cos(α＋β)sin...