第一章计数原理检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b,组成复数a+bi,其中虚数有()A.36个B.42个C.30个D.35个解析:因为a,b互不相等且a+bi为虚数,所以b只能从1,2,3,4,5,6中选一个,共6种方法,a从剩余的6个数中选一个有6种方法,根据分步乘法计数原理知,虚数的个数为6×6=36.答案:A2从长度分别为1,2,3,4的4条线段中任取3条,不同取法共有n种.在这些取法中,以取出的3条线段为边可组成三角形的个数为m,则mn=()A.0B.14C.12D.34解析:由题意知,n¿C43=4,由三角形的三边关系知,可组成三角形的只有长度分别为2,3,4的一组线段,即m=1,所以mn=14.答案:B3若(ax+√x2)9的展开式中x3的系数为94,则常数a的值为()A.1B.2C.3D.4解析:由于(ax+√x2)9的展开式的通项公式为Tk+1¿C9k·(ax)9-k·(x2)k2=C9k·a9-k·2-k2·x3k2-9.令3k2−9=3,可得k=8,故展开式中x3的系数为C98·a·116=94,解得a=4.答案:D4在数字1,2,3与符号“+”“-”五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列的个数是()A.6B.12C.18D.241解析:先排1,2,3,有A33=6种排法,再将“+”“-”两个符号插入,有A22=2种排法,共有6×2=12种排法.答案:B5已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=()A.-4B.-3C.-2D.-1解析:因为(1+x)5的二项展开式的通项为C5rxr¿r≤5,r∈Z),则含x2的项为C52x2+ax·C51x=(10+5a)x2,所以10+5a=5,a=-1.答案:D6设函数f(x)¿{(x-1x)6,x<0,-√x,x≥0,则当x>0时,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为()A.-20B.20C.-15D.15解析:当x>0时,f(x)=−√x<0,则f[f(x)]¿(-√x+1√x)6=(√x-1√x)6.Tr+1¿C6r(√x)6−r·(-1√x)r=(−1)rC6rx6-r2·x-r2=(−1)rC6rx3−r.令3-r=0,得r=3,此时T4=(-1)3C63=−20.答案:A74名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.18B.38C.58D.78解析:(方法一)由题意知基本事件总数为24=16,对4名同学平均分组共有C42A22=3¿),对4名同学按1,3分组共有C41种,所以周六、周日都有同学参加共有3×A22+C41A22=14¿).由古典概型得所求概率为1416=78.(方法二)周六没有同学参加公益活动即4名同学均在周日参加公益活动,此时只有一种情况;同理周日没有同学参加公益活动也只有一种情况,所以周六、周日均有同学参加公益活动的情况共有16-2=14(种).故所求概率为1416=78.故选D.答案:D8(1+2√x¿3(1−3√x)5的展开式中x的系数是()A.-4B.-22C.2D.4解析:因为(1+2√x¿3(1−3√x)5=(1+6√x+12x+8x√x)(1−3√x)5,所以(1+2√x¿3(1−3√x)5的展开式中含x的项为1×C53(−3√x)3+12xC50=−10x+12x=2x,所以x的系数为2.答案:C9某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168解析:解决该问题分为两类:第一类分两步,第一步排歌舞类A33,第二步利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空,故不同排法有A33·2A33=72.第二类也分两步,第一步排歌舞类A33,第二步将剩余3个节目放入中间两空排法有C21A22A22,故不同的排法有A33A22A22C21=48,故共有72+48=120种不同排法,故选B.答案:B10“2021”中含有数字0,1,2,且数字2有两个,则含有0,1,2,且有两个相同数字的四位数的个数是()A.18B.24C.27D.36解析:有两个数字相同时,共有三类:0,0,1,2;0,1,1,2;0,1,2,2.第一类:由0,0,1,2组成四位数时,千位有2种选法,再将剩余的非零数字填入个位、十位、百位中的一个位置,有3种方法,再将0,0填入其余位置有一种方法,共有6个不同的四位数.第二类:当千位是2时,将0填入个位、十位、百位中的一个位置有3种方法,再将1,1填入其余位置有一种方法,所以当千位是2时有3个不同的四位数.当千位是1时,将0,1,2填入个位、十位、百位有6种方法.当由0,1,1,2组成四位数时,共有9个.第三类,同第二类,由0,1,2,2组成四位数时,共有9个.所以符合条件的四位数有6+9+9=24个.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共...
