第三章变化率与导数(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f(x)＝，则f′(x)等于()A．－B．0C.D.解析：选B.因为f(x)＝，所以f′(x)＝()′＝0.2．已知某质点的运动规律为s＝t2＋3(s的单位：m，t的单位：s)，则该质点在t＝3s到t＝(3＋Δt)s这段时间内的平均速度为()A．(6＋Δt)m/sB．(6＋Δt＋)m/sC．(3＋Δt)m/sD．(＋Δt)m/s解析：选A.平均速度为＝＝(6＋Δt)m/s.3．设f(x)为可导函数，且满足lim＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2B．－1C．1D．－2解析：选D.k＝f′(1)＝lim＝2lim＝－2.4．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝(x－1)3＋3(x－1)B．f(x)＝2(x－1)C．f(x)＝2(x－1)2D．f(x)＝x－1解析：选A.利用排除法，分别对四个选项求导数f′(x)，再求f′(1)．5．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为()A．3B．2C．1D.解析：选B.设切点坐标为(x0，y0)，且x0＞0，因为y′＝x－，所以k＝x0－＝－，所以x0＝2.6．已知y＝2x3＋＋cosx，则y′等于()A．6x2＋x－－sinxB．6x2＋x－＋sinxC．6x2＋x－＋sinxD．6x2＋x－－sinx解析：选D.y′＝(2x3)′＋(x)′＋(cosx)′＝6x2＋x－－sinx.7．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称函数f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)＜0在D上恒成立，则称函数f(x)在D上为凸函数，以下四个函数在上不是凸函数的是()A．f(x)＝sinx＋cosxB．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝－x3＋2x－1D．f(x)＝xex解析：选D.对A，f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－sinx－cosx＜0，故f(x)在上是凸函数；对B，f′(x)＝－2，f″(x)＝－＜0，故f(x)在上是凸函数；对C，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x＜0，故f(x)在上是凸函数；对D，f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝ex＋ex＋xex＝ex(2＋x)＞0，故f(x)在上不是凸函数，选D.8．已知曲线C：y＝2x2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要实现不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞)B．(－∞，4)C．(10，＋∞)D．(－∞，10)解析：选D.在曲线C：y＝2x2上取一点D(x0，2x)(x0＞0)，因为y＝2x2，所以y′＝4x，所以y＝2x2在D点处切线的斜率为4x0，令＝4x0，解得x0＝1，此时D(1，2)，所以kAD＝＝4，所以直线AD的方程为y＝4x－2，要实现不被曲线C挡住，则实数a＜4×3－2＝10，即实数a的取值范围是(－∞，10)．19．设a＞0，f(x)＝ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线y＝f(x)对称轴距离的取值范围为()A.B.C.D.解析：选B.因为过P(x0，f(x0))的切线的倾斜角的取值范围是，且a＞0，P在对称轴的右侧，所以P到曲线y＝f(x)对称轴x＝－的距离d＝x0－＝x0＋.又因为f′(x0)＝2ax0＋b∈[0，1]，所以x0∈.所以d＝x0＋∈.10．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝2x，h(x)＝lnx，φ(x)＝x3(x≠0)的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．a＞c＞bD．b＞a＞c解析：选B.g′(x)＝2，h′(x)＝，φ′(x)＝3x2(x≠0)．解方程g(x)＝g′(x)，即2x＝2，得x＝1，即a＝1；解方程h(x)＝h′(x)，即lnx＝，在同一坐标系中画出函数y＝lnx，y＝的图像(图略)，可得1＜x＜e，即1＜b＜e；解方程φ(x)＝φ′(x)，即x3＝3x2(x≠0)，得x＝3，即c＝3.所以c＞b＞a.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________．解析：f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，f′(x)＝3x2－2ax－4，f′(－1)＝3＋2a－4＝0，所以a＝.答案：12．设f(x)＝ex＋x，若f′(x0)＝2，则在点(x0，y0)处的切线方程为________．解析：f′(x)＝ex＋1，f′(x0)＝2，所以ex0＋1＝2，所以x0＝0，y0＝e0＋0＝1，所以切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝013．已知函数f(x)＝sinx－xcosx，若存在x∈(0，π)，使得f′(x)＞λx成立，则实数λ的取值范围是...
