第四讲用数学归纳法证明不等式测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4解析由n≥3,n∈N知,应验证n=3.答案C2.在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n(n∈N+)的第(2)步中,假设当n=k时原等式成立,则在n=k+1时需要证明的等式为()A.1+2+3+…+2k+2(k+1)=2k2+k+2(k+1)2+(k+1)B.1+2+3+…+2k+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1)C.1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2k2+k+2(k+1)2+(k+1)D.1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1)解析用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n时,当n=1时左边所得的项是1+2=3,右边=2×12+1=3,命题成立.假设当n=k时命题成立,即1+2+3+…+2k=2k2+k.则当n=k+1时,左边为1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1),故从“k→k+1”需增添的项是2k+1+2(k+1),因此1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1).答案D13.记等式1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1=n(n+1)(n+2)左边的式子为f(n),用数学归纳法证明该等式的第二步归纳递推时,即当n从k变为k+1时,等式左边的改变量f(k+1)-f(k)=()A.k+1B.1·(k+1)+(k+1)·1C.1+2+3+…+kD.1+2+3+…+k+(k+1)解析依题意,f(k)=1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,则f(k+1)=1·(k+1)+2·k+3·(k-1)+4·(k-2)+…+k·2+(k+1)·1,∴f(k+1)-f(k)=1·[(k+1)-k]+2·[k-(k-1)]+3·[(k-1)-(k-2)]+4·[(k-2)-(k-3)]+…+k·(2-1)+(k+1)·1=1+2+3+…+k+(k+1).答案D4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N+)能被9整除”,要利用归纳假设证当n=k+1时的情况,只需展开()A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3解析当n=k+1时,证明“(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3能被9整除”,根据归纳假设,当n=k时,证明“k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除”,所以只需展开(k+3)3.答案A5.用数学归纳法证明2n≥n2(n≥5,n∈N+)成立时,第二步归纳假设的正确写法是()A.假设当n=k时命题成立B.假设当n=k(k∈N+)时命题成立C.假设当n=k(k≥5)时命题成立D.假设当n=k(k>5)时命题成立解析由数学归纳法的步骤可知,选项C正确.2答案C6.用数学归纳法证明“Sn=+…+>1(n∈N+)”时,S1等于()A.B.C.D.解析当n=1时,S1=.答案D7.已知在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1(n∈N+),用数学归纳法证明a4n能被4整除,假设a4k能被4整除,然后应该证明()A.a4k+1能被4整除B.a4k+2能被4整除C.a4k+3能被4整除D.a4k+4能被4整除解析由假设a4k能被4整除,则当n=k+1时,应该证明a4(k+1)=a4k+4能被4整除.答案D8.设0<θ<,已知a1=2cosθ,an+1=,则猜想an为()A.2cosB.2cosC.2cosD.2sin3解析a1=2cosθ,a2==2cos,a3==2cos,猜想an=2cos.答案B9.从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶,每步只能跨上1级或2级,走完这n级台阶共有f(n)种走法,则下面的猜想正确的是()A.f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n≥3)B.f(n)=2f(n-1)(n≥2)C.f(n)=2f(n-1)-1(n≥2)D.f(n)=f(n-1)f(n-2)(n≥3)解析分别取n=1,2,3,4验证,得f(n)=答案A10.用数学归纳法证明“34n+1+52n+1(n∈N+)能被8整除”时,若当n=k时命题成立,欲证当n=k+1时命题成立,对于34(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为()A.56×34k+1+25(34k+1+52k+1)B.34×34k+1+52×52kC.34k+1+52k+1D.25(34k+1+52k+1)解析由于34(k+1)+1+52(k+1)+1=81×34k+1+25×52k+1+25×34k+1-25×34k+1=56×34k+1+25(34k+1+52k+1),故应选A.答案A11.下列说法正确的是()A.若一个命题当n=1,2时为真,则此命题为真命题4B.若一个命题当n=k时成立且推得n=k+1时也成立,则这个命题为真命题C.若一个命题当n=1,2时为真,则当n=3时这个命题也为真D.若一个命题当n=1时为真,n=k时为真能推得n=k+1时亦为真,则此命题为真命题解析由数学归纳法可知,只有当n的初始取值成立且由n=k成立能推得n=k+1时也成立时,才可以证明结论正确,二者缺一不可.A,B,C项均不全面.答案D12.若命题A(n)(n∈N+)在n=k(k∈N+)时成立,则有当n=k+1时命题也成立.现知命题对n=n0(n0∈N+)时成立,则有()A.命题对所有正整数都成立B.命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立D.以上说法都不正确解析数学归纳法证明的结论只是对n的初始值及后面的正整数成立,而对于初...
