高难拉分攻坚特训(三)1．若函数f(x)＝ax－x2－lnx存在极值，且这些极值的和不小于4＋ln2，则a的取值范围为()A．[2，＋∞)B．[2，＋∞)C．[2，＋∞)D．[4，＋∞)答案C解析f′(x)＝a－2x－＝－，因为f(x)存在极值，所以f′(x)＝0在(0，＋∞)上有根，即2x2－ax＋1＝0在(0，＋∞)上有根，所以Δ＝a2－8≥0，显然当Δ＝0时，f(x)无极值，不符合题意，所以Δ＝a2－8>0，即a>2或a<－2.记方程2x2－ax＋1＝0的两根为x1，x2，由根与系数的关系得x1x2＝，x1＋x2＝，易知a>0，则f(x1)，f(x2)为f(x)的极值，所以f(x1)＋f(x2)＝(ax1－x－lnx1)＋(ax2－x－lnx2)＝a(x1＋x2)－(x＋x)－(lnx1＋lnx2)＝－＋ln2≥4＋ln2，所以a≥2.综上，a的取值范围为[2，＋∞)，选C.2．A，B为单位圆(圆心为O)上的点，O到弦AB的距离为，C是劣弧(包含端点)上一动点，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围为________．答案解析如图，以圆心O为坐标原点建立直角坐标系，设A，B两点在x轴上方且线段AB与y轴垂直，∵A，B为单位圆(圆心为O)上的点，O到弦AB的距离为，∴点A，点B，∴OA＝，OB＝，即λOA＝，μOB＝，∴OC＝λOA＋μOB＝，又∵C是劣弧(包含端点)上一动点，设点C坐标为(x，y)，则∵OC＝＝(x，y)，∴≤y＝≤1，解得1≤λ＋μ≤，故λ＋μ的取值范围为.3．已知函数f(x)＝x(a＋lnx)有极小值－e－2.(1)求实数a的值；(2)若k∈Z，且k<对任意的x>1恒成立，求k的最大值．解(1)f′(x)＝a＋1＋lnx，令f′(x)>0⇒x>e－a－1，令f′(x)<0⇒01时，令g(x)＝＝，则g′(x)＝，令h(x)＝x－2－lnx，∴h′(x)＝1－＝>0，故h(x)在(1，＋∞)上是增函数．由于h(3)＝1－ln3<0，h(4)＝2－ln4>0，故存在x0∈(3,4)，使得h(x0)＝0.则当x∈(1，x0)时，g′(x)<0，g(x)为减函数；x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数．∵h(x0)＝x0－2－lnx0＝0，∴lnx0＝x0－2，∴g(x)min＝g(x0)＝＝x0，∴k0)，圆P的半径为R，由题意可得所以|PC|＝x＋1，即＝x＋1，整理得y2＝4x.所以圆心P的轨迹Γ的方程为y2＝4x(x>0)．(2)由已知，直线l的方程为y＝k(x－2)，不妨设t＝，则直线l的方程为y＝(x－2)，即x＝ty＋2.联立，得消去x，得y2－4ty－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则因为点M(2,0)与点N关于y轴对称，所以N(－2,0)，故k1＝，所以＝＝＝t＋，同理，得＝t＋，所以＋－＝2＋2－＝2t2＋8t×＋16×－mt22＝2t2＋8t×＋16×－mt2＝2t2＋8t×＋16×－mt2＝2t2＋4－mt2＝(2－m)t2＋4，要使该式为定值，则需2－m＝0，即m＝2，此时定值为4.所以存在常数m＝2，使得＋－为定值，且定值为4.3
