1.3.2函数的极值与导数1.3.3函数的最大（小）值与导数1．函数的极值与导数（1）函数极值的概念若函数()yfx在点xa的函数值()fa比它在点xa附近其他点的函数值都小，()0fa；而且在点xa附近的左侧________，右侧________，就把点a叫做函数()yfx的极小值点，()fa叫做函数()yfx的极小值.若函数()yfx在点xb的函数值()fb比它在点xb附近其他点的函数值都大，()0fb；而且在点xb附近的左侧________，右侧________，就把点b叫做函数()yfx的极大值点，()fb叫做函数()yfx的极大值.极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.（2）可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件必要条件：可导函数()yfx在0xx处取得极值的必要条件是________.充分条件：可导函数()yfx在0xx处取得极值的充分条件是()fx在0xx两侧异号.（3）函数极值的求法一般地，求函数()yfx的极值的方法是：解方程()0fx.当0()0fx时：①如果在0x附近的左侧()0fx，右侧()0fx，那么0()fx是________；②如果在0x附近的左侧()0fx，右侧()0fx，那么0()fx是_________.2．函数的最值与导数一般地，如果在区间[,]ab上函数()yfx的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.1求函数()yfx在[,]ab上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数()yfx在(,)ab内的极值；（2）将函数()yfx的各极值与端点处的函数值(),()fafb比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.参考答案：1．（1）()0fx()0fx()0fx()0fx（2）0()0fx（3）①极大值②极小值重点利用导数求函数的极值和最值的方法难点函数的最大值、最小值与函数的极大值、极小值的区别与联系易错（1）对函数取得极值的充要条件理解不到位；（2）求最值时，易忽略函数的定义域一、求函数的极值1．求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求()0fx的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．2．利用导数求极值时，一定要讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论（可从导数值为0的几个x值的大小入手）.【例1】已知函数323()31fxaxxa（aR且0a），求函数()fx的极大值与极小值.【解析】由题设知0a，22()363()fxaxxaxxa.令()0fx得0x或2xa.当0a时，随x的变化，()fx与()fx的变化如下：x(,0)02(0,)a2a2(,)a2()fx+0–0+()fx极大值极小值则3()(0)1fxfa极大值，2243()()1fxfaaa极小值.当0a时，随x的变化，()fx与()fx的变化如下：x2(,)a2a2(,0)a0(0,)()fx–0+0–()fx极小值极大值则3()(0)1fxfa极大值，2243()()1fxfaaa极小值.故3()1fxa极大值，243()1fxaa极小值.【名师点睛】函数的极大值不一定大于函数的极小值，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值也可能比极小值小.二、极值的应用解决利用函数的极值确定函数解析式中参数的值的问题时，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值.需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件.【例2】已知函数21()ln(,)2fxaxxbxabR在122,3xx处取得极值．（1）求,ab的值；（2）求()fx在点(1,(1))Pf处的切线方程．【解析】（1）2()axbxafxxbxx，令2()0xbxafxx，3根据题意，得2，3是方程20xbxa的两根，则有235236bbaa.此时，21()6ln52fxxxx，经检验，()fx在122,3xx处取得极值.（2）21()6ln52fxxxx，则19(1)522f，得9(1,)2P.又由256()xxfxx，得(1)1562f.从而，得所求切线方程为92(1)2yx，即42130xy．三、求函数的最值求函数最值的步骤是：（1）求函数()yfx在()ab，内的极值；（2）将函数()yfx的各极值与端点处的函数值()fa，()fb进行比较，其中最大的...
