课时作业18数学归纳法时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是(D)A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4解析：观察发现应选D.2．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为(C)A．1B．2C．3D．4解析：边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.3．某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得(A)A．当n＝4时命题不成立B．当n＝6时命题不成立C．当n＝4时命题成立D．当n＝6时命题成立解析：因为当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立．4．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(C)A．1B．2C．3D．0解析：凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.5．数列{an}中的an＝＋＋＋…＋，则an＋1的表达式是(B)A．an＋1＝an＋－B．an＋1＝an＋＋－C．an＋1＝an＋＋－D．an＋1＝an＋－解析：当n＝k时，左边的第一项为，当n＝k＋1时，左边的第一项为，所以左边加上＋的同时，还要减去.故选B.6．用数学归纳法证明：“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”．从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为(B)A．2k＋1B．2(2k＋1)C.D.解析：当n＝k时左端的第一项为(k＋1)，最后一项为(k＋k)，当n＝k＋1时，左端的第一项为(k＋2)，最后一项为(2k＋2)，∴左边乘以(2k＋1)(2k＋2)．同时还要除以(k＋1)．故选B.7．已知数列{an}的前n项之和为Sn，且Sn＝2n－an(n∈N*)，若已经算出a1＝1，a2＝，则猜想an等于(D)1A.B.C.D.解析： a1＝1，a2＝，又S3＝1＋＋a3＝6－a3，∴a3＝.同理，可求a4＝，观察1，，，，…，猜想an＝.8．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(A)A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3解析：假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．二、填空题9．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)第一步应验证n＝3.解析：n最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．10．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2.解析：当n＝k＋1时，应将表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1.11．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.解析：当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.三、解答题12．用数学归纳法证明：(1－)(1－)(1－)…(1－)＝(n∈N＋)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝，等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)成立，即(1－)(1－)(1－)…(1－)＝，当n＝k＋1时，两边同乘以1－，得(1－)(1－)(1－)…(1－)(1－)＝(1－)＝＝，∴当n＝k＋1时等式成立．由(1)(2)可知，对于n∈N＋等式都成立．13．已知x>－1，且x≠0，n∈N*，且n≥2.求证：(1＋x)n>1＋nx.证明：(1)当n＝2时，左边＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，右边＝1＋2x. x2>0，∴原不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即(1＋x)k>1＋kx.当n＝k＋1时， x>－1，∴1＋x>0.于是左边＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)>(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2，右边＝1＋(k＋1)x， kx2>0，∴左边>右边，即(1＋x)k＋1>1＋(k＋1)x.这就是说，原不等式当n＝k＋1时也成立．根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的正整数都成立．2——能力提升类——14．证明：假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)...
