学业分层测评(二十五)两角和与差的正弦(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知cosαcosβ－sinαsinβ＝0，那么sinαcosβ＋cosαsinβ的值为________．【解析】由cosαcosβ－sinαsinβ＝0得cos(α＋β)＝0，∴α＋β＝＋kπ，k∈Z.∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β)＝sin＝±1.【答案】±12．若M＝sin12°cos57°－cos12°sin57°，N＝cos10°cos55°＋sin10°sin55°，则M＋N＝________.【解析】M＝sin12°cos57°－cos12°sin57°＝sin(12°－57°)＝sin(－45°)＝－.N＝cos10°cos55°＋sin10°sin55°＝cos(10°－55°)＝cos(－45°)＝.∴M＋N＝0.【答案】03．若锐角α，β满足cosα＝，cos(α＋β)＝，则sinβ的值是________．【解析】∵α，β∈，cosα＝，cos(α＋β)＝.∴sinα＝，∴0＜α＋β＜π，∴sin(α＋β)＝.∴sinβ＝sin＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝【答案】4．在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是________．【解析】在△ABC中，C＝π－(A＋B)，∴2cosBsinA＝sinπ－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB.∴－sinAcosB＋cosAsinB＝0.即sin(B－A)＝0.∴A＝B.【答案】等腰三角形5．(2016·南通高一检测)要使sinα－cosα＝有意义，则实数m的取值范围是________．【解析】∵sinα－cosα＝2sin.∴2sin＝.∴sin＝∴≤1，解得－1≤m≤.【答案】6．化简：＝________.1【解析】＝＝＝＝－1.【答案】－17．若8sinα＋5cosβ＝6,8cosα＋5sinβ＝10，则sin(α＋β)＝________.【导学号：06460074】【解析】由8sinα＋5cosβ＝6，两边平方，得64sin2α＋80sinαcosβ＋25cos2β＝36.①由8cosα＋5sinβ＝10，两边平方，得64cos2α＋80cosαsinβ＋25sin2β＝100.②由①＋②，得64＋25＋80(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝136.∴sin(α＋β)＝.【答案】8．cossinα＋coscosα＝________.【解析】因为cos＝sin，所以原式＝sincosα＋cossinα＝sin＝sin＝.【答案】二、解答题9．已知cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且＜β＜α＜π，求sin2α.【解】∵＜β＜π，∴－π＜－β＜－.∵＜α＜π，∴－＜α－β＜.又∵β＜α，∴0＜α－β＜，则sin＝.∵sin(α＋β)＝－，π＜α＋β＜π，∴cos(α＋β)＝－.∴sin2α＝sin＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝×＋×＝－.10．(2016·南京高一检测)若函数f(x)＝(1＋tanx)·cosx,0≤x＜.(1)把f(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式；(2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值．【解】(1)f(x)＝(1＋tanx)·cosx＝cosx＋··cosx＝cosx＋sinx＝2＝2＝2sin.(2)∵0≤x＜，∴≤x＋＜，由x＋≤，得x≤.∴f(x)在上是单调增函数，2在上是单调减函数．∴当x＝时，f(x)有最大值为2.能力提升]1．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________．【解析】∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)＋φ]－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ＋cos(x＋φ)sinφ－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ－cos(x＋φ)sinφ＝sin(x＋φ)－φ]＝sinx，∴f(x)的最大值为1.【答案】12．(2016·苏州高一检测)已知cos＋sinα＝，则sin的值是________．【解析】∵cosα·＋sinα·＋sinα＝，∴sinα＋cosα＝，∴＝，∴sin＝，∴sin＝sin＝－sin＝－.【答案】－3．sin50°(1＋tan10°)＝________.【解析】原式＝sin50°＝sin50°·＝2sin50°·＝＝＝＝＝1.【答案】14．已知sinα＝，cosβ＝－，且α，β为相邻象限的角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．【解】∵sinα＝＞0，cosβ＝－，且α，β为相邻象限的角，∴α为第一象限角且β为第二象限角；或α为第二象限角且β为第三象限角．①当α为第一象限角且β为第二象限角时，cosα＝，sinβ＝，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝.∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×－×＝＝－.②当α为第二象限角且β为第三象限角时，∵sinα＝，cosβ＝－，∴cosα＝－，sinβ＝－，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×－×＝－，综上可知，sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝－.34
