第二章推理与证明阶段通关训练(60分钟100分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形,等腰三角形,等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°;③某次考试张军成绩是100分,由此推出全班同学成绩都是100分;④三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得凸多边形内角和是(n-2)·180°.A.①②B.①③④C.①②④D.②④【解析】选C.合情推理包括归纳推理,类比推理,①是类比推理,②是归纳推理,④是归纳推理.2.(2017·绵阳高二检测)下列关系式中一定成立的是()A.若a>0,b>0,则a4+b4≤a3b+ab3B.+>2C.若|a|<1,|b|<1,则<1D.a2+b2+c2≤ab+bc+ca【解析】选C.对于选项C,<1⇔|a+b|<|1+ab|⇔(a+b)2<(1+ab)2⇔(1-a2)(1-b2)>0,而|a|<1,|b|<1,故(1-a2)(1-b2)>0成立,所以<1成立.3.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则=()A.2B.4C.D.【解析】选C.在等比数列{an}中,q=2≠1,设首项为a1≠0,则S4==15a1,1又a2=a1q=2a1,故==.【补偿训练】已知实数a,b,c满足a+b+c=0,abc>0,则++的值()A.一定是正数B.一定是负数C.可能是零D.正、负不能确定【解析】选B.因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0.所以a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,所以ab+bc+ca=-(a2+b2+c2)<0.又abc>0,所以++=<0.4.下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是()A.6+6·7kB.2+7k-1C.2(2+7k+1)D.3(2+7k)【解析】选D.特殊值法:当k=1时只有3(2+7k)能被9整除.5.已知f(n)=+++…+,则()A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=+B.f(n)中共有(n+1)项,当n=2时,f(2)=++C.f(n)中共有(n2-n)项,当n=2时,f(2)=+2D.f(n)中共有(n2-n+1)项,当n=2时,f(2)=++【解析】选D.项数:看分母,分母有n,n+1,…,n2,所以项数为n2-n+1,f(2)=++.6.对于等式sin3x=sin2x+sinx,下列说法中正确的是()A.对于任意x∈R,等式都成立B.对于任意x∈R,等式都不成立C.存在无穷多个x∈R使等式成立D.等式只对有限个x∈R成立【解析】选C.当x=0时,等式显然成立.又x=kπ(k∈Z)时等式也恒成立,而x=时等式不成立.二、填空题(每小题5分,共20分)7.(2017·杭州高二检测)=2,=3,=4,…,若=6(a,b均为实数),猜想,a=________,b=________.【解析】由2+,3+,4+,可以求出3=22-1,8=32-1,15=42-1,故在6+中,a=6,b=a2-1=62-1=35.答案:6358.(2017·东莞高二检测)当n=1时,有(a-b)(a+b)=a2-b2,当n=2时,有(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,当n=3时,有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,当n∈N*时,你能得到的结论是__________________.【解析】根据题意,由于当n=1时,有(a-b)(a+b)=a2-b2,当n=2时,有(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,当n=3时,有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,当n∈N*时,左边第二个因式可知为an+an-1b+…+abn-1+bn,那么对应的表达式为(a-b)·(an+an-1b+…+abn-1+bn)=an+1-bn+1.答案:(a-b)(an+an-1b+…+abn-1+bn)=an+1-bn+1【补偿训练】已知等式cosα=,cosα·cos2α=,cosα·cos2α·cos4α=,…,请你写出一个具有一般性的等式,使你写出的等式包含了已知等式(不要求证明),那么这个等式是:__________________.3【解析】该题通过观察前几个特殊式子的特点,通过归纳推理得出一般规律,写出结果即可.答案:cosα·cos2α·…·cos(2n-1α)=,n∈N*9.在△ABC中,D为BC的中点,则=(+),将上述命题类比到四面体ABCD中,得到一个类似的命题:________________________________.【解析】线段的中点,类比到三角形中为三角形的重心,由此有在四面体ABCD中,G为△BCD的重心,则=(++).答案:在四面体A-BCD中,G为△BCD的重心,则=(++)10.在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,且n∈N*)成立.类比上述性质,相应地,在等比数列{bn}中,若b9=1,则有等式________成立.【解析】在等差数列中,若m+n=2p,则am+an=2ap,而在等比数列中,若m+n=2p,则aman=.因为b9=1,所以bn+1·b17-n==1.又因为bn+1b17-n=bn+2b17-n-1=…==1,所以有等式b1b2…bn=b1b2b3…b17-n,n<17,且n∈N*.答案:b1b2…bn=b1b2b3…b17-n,n<17,且n∈N*【拓展延伸】类比推理的技巧类比推理是根据两个对象有一部分属性类似,推出这两个对象的其他属性也类似的一类推理方法.在解决这种问题时,要尽可能多地找到这两组对象的类...
