第六节数学归纳法1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．2．数学归纳法的框图表示1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．()(2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．()(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．()(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(2017·杭州二中月考)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于()A．1B．2C．3D．0C[因为凸n边形最小为三角形，所以第一步检验n等于3，故选C.]3．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2时，若已假设n＝k(k≥2，且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立B[k为偶数，则k＋2为偶数．]4．(教材改编)已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝__________，a3＝__________，a4＝__________，猜想an＝__________.345n＋115．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋
1)”由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是__________.【导学号：51062209】2k[当n＝k时，不等式为1＋＋＋…＋均成立．[证明](1)当n＝2时，左边＝1＋＝；右边＝. 左边>右边，∴不等式成立.4分(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，即·…·>.8分2则当n＝k＋1时，·…·>·＝＝>＝＝.14分∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立.15分[规律方法]1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他方法不容易证明，则可考虑应用数学归纳法．2．用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时命题成立，再证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．[变式训练2]已知数列{an}，当n≥2时，an<－1，又a1＝0，a＋an＋1－1＝a，求证：当n∈N*时，an＋1a2.4分(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1
