三圆的切线的性质及判定定理A组1.已知圆的半径为6.5cm,圆心到直线l的距离为4.5cm,则这条直线和这个圆的公共点的个数是()A.2B.1C.0D.不能确定解析圆心到l的距离是4.5cm,小于圆的半径6.5cm,故圆与l相交,有两个公共点.答案A2.如图所示,AB与☉O切于点B,AO=6cm,AB=4cm,则☉O的半径r等于()A.4√5cmB.2√5cmC.2√13cmD.√13cm解析如图,连接OB,则OB=r且OB⊥AB,故OB=r=√OA2-AB2=√36-16=2√5(cm).答案B3.(2016·山西太原高二检测)如图所示,☉O是正三角形ABC的内切圆,切点分别为E,F,G,P是劣弧EG⏜上任意一点,则∠EPF的度数等于()1A.120°B.90°C.60°D.30°解析连接OE,OF,则OE⊥AB,OF⊥BC,于是∠EOF=180°-∠B=120°,从而∠EPF=12∠EOF=60°.答案C4.如图所示,CB为☉O的直径,P是CB的延长线上的一点,且OB=BP,∠AOC=120°,则PA与☉O的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.不确定解析如图所示,连接AB. ∠AOC=120°,∴∠AOB=60°.又OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∴OB=AB.又OB=BP,∴AB=12OP,∴∠OAP=90°.即OA⊥AP,则PA与☉O相切.答案B5.(2016·安徽蚌埠高二检测)2如图所示,已知☉O的直径AB与弦AC的夹角为30°,过C点的切线PC与AB的延长线交于P,PC=√3,则☉O的半径为()A.√32B.3C.12D.1解析连接OC,则∠COP=60°,OC⊥PC,可求得OC=√33×√3=1.答案D6.如图所示,AB是☉O的直径,点C在AB的延长线上,CD切☉O于点D,连接AD,若∠A=25°,则∠C=.解析如图所示,连接OD. CD与☉O相切,∴OD⊥DC. OA=OD,∴∠A=∠ODA=25°. ∠COD为△AOD的外角,∴∠COD=50°,∴∠C=40°.3答案40°7.(2016·天津武清高二检测)如图所示,已知EB是半圆O的直径,A是BE延长线上一点,AC是半圆O的切线,切点为D,BC⊥AC于C,若BC=6,AC=8,则AE=.解析连接OD,则OD⊥AC.又BC⊥AC,可得△AOD∽△ABC,而AB=√AC2+BC2=10,于是OD6=10-OD10,解得OD=154,故AE=AB-2OD=10-2×154=52.答案528.如图所示,正方形ABCD内接于☉O,☉O的半径为4cm,则过AB,BC中点的弦EF的长是cm.解析如图,连接OB交EF于H,连接OE,则OH=2cm,HE=√42-22=2√3(cm),故EF=4√3cm.答案4√39.4如图所示,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,过点D作☉O的切线交AC于点E.求证:DE⊥AC.证明连接OD,AD,如图所示. AB为☉O直径,∴AD⊥BC. AB=AC,即△ABC为等腰三角形,∴AD为BC边上的中线,即BD=DC.又OA=OB,∴OD为△ABC的中位线.∴OD∥AC. DE切☉O于点D,∴OD⊥DE.∴DE⊥AC.10.(2016·甘肃兰州高二检测)如图,△ABC内接于☉O,点D在OC的延长线上,sinB=12,∠D=30°.(1)求证:AD是☉O的切线;(2)若AC=6,求AD的长.(1)证明如图,连接OA, sinB=12,∴∠B=30°. ∠AOC=2∠B,∴∠AOC=60°.又∠D=30°,∴∠OAD=180°-∠D-∠AOD=90°,即OA⊥AD,故AD是☉O的切线.(2)解 OA=OC,∠AOC=60°,∴△AOC是等边三角形,∴OA=AC=6.5 ∠OAD=90°,∠D=30°,∴AD=√3AO=6√3.B组1.导学号19110034如图所示,AC与☉O相切于点D,AO的延长线交☉O于B,且BC与☉O相切于B,AD=DC,则AOOB等于()A.2B.1C.12D.43解析如图所示,连接OD,OC. AC,BC是切线,∴OD⊥AC,OB⊥BC.又AD=DC,∴△OAC是等腰三角形.∴OA=OC.∴∠A=∠OCD.又OC=OC,OD=OB,∴△OBC≌△ODC.∴∠OCD=∠OCB.∴∠BCA=2∠A.∴∠A+∠BCA=3∠A=90°.∴∠A=30°.∴AOOB=AOOD=1sin30°=2.答案A2.(2016·广东佛山高二检测)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以BC上一点O为圆心作☉O与AB相切于E,与AC相切于C,又☉O与BC的另一个交点为D,则线段BD的长为()6A.1B.12C.13D.14解析由☉O与AC相切于C,则∠ACB=90°. AC=4,BC=3,∴AB=5.连接OE,且设☉O的半径为R,则△OEB∽△ACB,得OB=OE·ABAC=54R,∴BC=OC+OB=R+54R=94R=3,解得R=43,故BD=BC-2R=3-83=13.答案C3.(2016·河北石家庄高二检测)如图所示,圆O的半径为1,A,B,C是圆周上的三点,满足∠ABC=30°,过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P,则PA=.解析如图,连接OA, AP为☉O的切线,∴OA⊥AP.又∠ABC=30°,∴∠AOC=60°.∴在Rt△AOP中,OA=1,PA=OA·tan60°=√3.答案√34.7如图所示,☉O的直径AB=8,C为圆周上一点,BC=4,过点C作☉O的切线l,过点A作直线l的垂线AD,D为垂足,AD与☉O交于点E,则线段AE的长为.解析如图所示,连接OC,连接BE交OC于点F,则OC⊥l,B...
