重点强化训练(三)不等式及其应用A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．下列不等式一定成立的是()A．lg>lgx(x>0)B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.>1(x∈R)C[取x＝，则lg＝lgx，故排除A；取x＝π，则sinx＝－1，故排除B；取x＝0，则＝1，排除D.]2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋5y的最小值为()A．－4B．6C．10D．17B[由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y＝－x＋z，在图中画出直线y＝－x，平移该直线，易知经过点A时z最小．又知点A的坐标为(3,0)，∴zmin＝2×3＋5×0＝6.故选B.]3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝()【导学号：51062201】A．2B．4C．3D．6C[由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．因为直线x＋y－2＝0与直线x＋y＝0平行，所以可行域内的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.易得C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝＝3.故选C.]4．不等式≤x－2的解集是()A．[－∞，0)∪(2,4]B．[0,2)∪[4，＋∞)C．[2,4)D．(－∞，2]∪(4，＋∞)1B[①当x－2>0，即x>2时，不等式可化为(x－2)2≥4，解得x≥4；②当x－2<0，即x<2时，不等式可化为(x－2)2≤4，解得0≤x<2.综上，解集为[0,2)∪[4，＋∞)．]5．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为()A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1，＋∞)C[因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－.化简可得a＝1，则＞3，即－3＞0，即>0，故不等式可化为＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选C.]二、填空题6．设x，y满足约束条件则z＝2x＋3y－5的最小值为________．－10[画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y＝－x＋＋过点A(－1，－1)时，z取得最小值，即zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]7．若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|
0(a∈R)．(1)解这个关于x的不等式；(2)若x＝－a时不等式成立，求a的取值范围．[解](1)原不等式等价于(ax－1)(x＋1)>0.1分①当a＝0时，由－(x＋1)>0，得x<－1；②当a>0时，不等式化为(x＋1)>0.解得x<－1或x>；3分③当a<0时，不等式化为(x＋1)<0；若<－1，即－1－1，即a<－1，则－10时，解集为.9分(2) x＝－a时不等式成立，∴>0，即－a＋1<0，12分∴a>1，即a的取值范围为(1，＋∞).15分10．已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a＞0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.【导学号：51062202】[解](1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－10，解得0，解得1≤x＜2.所以f(x)>1的解集为.7分(2)由题设可得f(x)＝所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)．因此△ABC的面积S＝|AB|·(a＋1)＝(a＋1)2.12分由(a＋1)2>6，故a>2.故a的取值范围为(2，＋∞...
