高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 变化率问题习题 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题VIP免费

第一章1.7变化率问题A级基础巩固一、选择题1．如图所示，阴影部分的面积是(C)A．2B．2－C．D．[解析]S＝(3－x2－2x)dx即F(x)＝3x－x3－x2，则F(1)＝3－1－＝，F(－3)＝－9－9＋9＝－9．∴S＝F(1)－F(－3)＝＋9＝．故应选C．2．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0s到t＝3s时间段内的位移是(B)A．31mB．36mC．38mD．40m[解析]S＝(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)＝33＋32＝36(m)，故应选B．3．利用定积分的几何意义，可求得dx＝(B)A．9πB．πC．πD．π[解析]由定积分的几何意义知，dx表示圆x2＋y2＝9位于x轴上方部分(即半圆)的面积，∴dx＝×π×32＝．4．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(D)A．2B．4C．2D．4[解析]如图所示由解得或∴第一象限的交点坐标为(2,8)由定积分的几何意义得，S＝(4x－x3)dx＝(2x2－)|＝8－4＝4．5．(2018·红谷滩新区校级二模)某人吃完饭后散步，在0到3小时内速度与时间的关系为v＝t3－3t2＋2t(km/h)，这3小时内他走过的路程为(C)A．kπB．kπC．kπD．kπ[解析]v＝t3－3t2＋2t的原函数可为F(t)＝t4－t3＋t2＝t2(t－2)2，路程为v(t)dt－v(t)dt＋v(t)dt＝F(1)－F(0)－F(2)＋F(1)＋F(3)－F(2)＝2F(1)＋F(3)＝(km)，1故选C．6．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a＝，那么从3小时到6小时期间内的产量为(D)A．B．3－C．6＋3D．6－3[解析]dt＝＝6－3，故应选D．二、填空题7．由曲线y2＝2x，y＝x－4所围图形的面积是18．[解析]如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．因此所求图形的面积S＝(y＋4－)dy取F(y)＝y2＋4y－，则f′(y)＝y＋4－，从而S＝F(4)－F(－2)＝18．8．由两条曲线y＝x2，y＝x2与直线y＝1围成平面区域的面积是．[解析]解法1：如图，y＝1与y＝x2交点A(1,1)，y＝1与y＝交点B(2,1)，由对称性可知面积S＝2(x2dx＋dx－x2dx)＝．解法2：同解法1求得A(1,1)，B(2,1)．由对称性知阴影部分的面积S＝2·[(x2－x2)dx＋(1－x2)dx]＝2·[x3|＋(x－x3)|]＝2×(＋)＝．解法3：同解法1求得A(1,1)B，(2,1)，C(－1,1)，D(－2，1)．S＝(1－x2)dx－(1－x2)dx＝(x－x3)|－(x－x3)|＝－＝．解法4:同解法1求得A(1,1)，B(2,1)，取y为积分变量，由对称性知，S＝2(2－)dy＝2dy＝2×(|)＝．三、解答题9．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．[解析]由解得x＝0及x＝3．2从而所求图形的面积S＝[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝(－x2＋3x)dx＝＝．10．一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(单位：m/s)运动．求：(1)在t＝4s的位置；(2)在t＝4s内运动的路程．[解析](1)在时刻t＝4时该点的位置为(t2－4t＋3)dt＝(t3－2t2＋3t)|＝(m)，即在t＝4s时刻该质点距出发点m．(2)因为v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0，在区间[1,3]上，v(t)≤0，所以t＝4s时的路程为S＝(t2－4t＋3)dt＋|(t2－4t＋3)dt|＋(t2－4t＋3)dt＝(t3－2t2＋3t)|＋|(t3－2t2＋3t)||＋(t3－2t2＋3t)|＝＋＋＝4(m)即质点在4s内运动的路程为4m．B级素养提升一、选择题1．若(2x＋)dx＝3＋ln2且a>1，则实数a的值是(A)A．2B．3C．5D．6[解析](2x＋)dx＝(x2＋lnx)|＝a2＋lna－(1＋ln1)＝3＋ln2，a>1，∴a2＋lna＝4＋ln2＝22＋ln2，解得a＝2，故选A．2．(2018·济南高二检测)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形区域的A处与C处各有一个通信基站，其信号覆盖范围分别为如图所示的阴影区域，该正方形区域内无其它信号来源且这两个基站工作正常，若在该正方形区域内随机选择一个地点，则该地点无信号的概率为(B)A．B．1－C．D．1－[解析]由题意得：S阴＝2(e－ex)dx＝2(ex－ex)|＝2，由几何概型得所求概率P＝1－＝1－．二、填空题3．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为．3[解析]本题考查了定积分的计算与几何概型．联立解得，或者，∴O(0,0)，B(1,1)，∴S阴影＝(－x)dx＝(x－)|＝－＝，∴P＝＝＝．4．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝3．[解析] 切...