2016-2017学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行课后演练提升北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交解析：∵u＝－2a，∴a∥u.∴a⊥α，∴l⊥a，故选B.答案：B2．已知平面α内的三点A(0,0,1)、B(0,1,0)、C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则()A．α∥βB．α⊥βC．α与β相交不垂直D．以上都不对解析：AB＝(0,1，－1)，AC＝(1,0，－1)，n·AB＝(－1，－1，－1)·(0,1，－1)＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，n·AC＝(－1，－1，－1)·(1,0，－1)＝－1×1＋0＋(－1)·(－1)＝0，∴n⊥AB，n⊥AC.∴n也为α的一个法向量．又α与β不重合，∴α∥β.答案：A3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1,1)B.C.D.解析：对于选项A，PA＝(1,0,1)，则PA·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，PA＝，则PA·n＝·(3,1,2)＝0，故选B.答案：B4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1A解析：以D为原点建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标方法证明CE·BD＝0即可．答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.解析：∵α∥β，∴u1∥u2.∴＝＝.∴y＝1，z＝－4.∴y＋z＝－3.答案：－36．已知△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则直线CA与DB的位置关系是________．解析：如右图：DA⊥平面ABC，且∠BAC＝90°如图建系：采用向量法易证：CA·DB＝0答案：垂直三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知ABC－A1B1C1是正三棱柱，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1.证明：证法一：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.1设正三棱柱的底面边长为a，侧棱长为b，则A(0,0,0)，B，C1(0，a，b)，B1，D.AB1＝，BD＝，DC1＝.设平面DBC1的法向量为n＝(x，y，z)，由n⊥BD，n⊥DC1，得∴取y＝1，得n＝.由AB1·n＝·＝0，得AB1⊥n，即AB1∥平面DBC1.证法二：如图所示，记AB＝a，AC＝b，AA1＝c，则AB1＝a＋c，DB＝AB－AD＝a－b，DC1＝DC＋CC1＝b＋c.∴DB＋DC1＝a＋c＝AB1，∴DB，DC1，AB1共面．又∵AB1⊄平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1.8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是棱BB1、D1B1的中点，求证：EF⊥面B1AC.证明：证法一：建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为2，则有A(2,0,0)、B1(2,2,2)、C(0,2,0)、E(2,2,1)、F(1,1,2)，∴AB1＝(0,2,2)，AC＝(－2,2,0)，EF＝(－1，－1,1)，∴EF·AB1＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0－2＋2＝0⇔EF⊥AB1，EF·AC＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0⇔EF⊥AC，即EF⊥AB1，EF⊥AC，又AB1∩AC＝A，∴EF⊥面B1AC.证法二：建系如证法一，设面B1AC的一个法向量为n＝(x，y，z)，由⇔，令x＝1可得：y＝1，z＝－1，∴n＝(1,1，－1)＝－EF⇒n∥EF，∴EF⊥面B1AC.☆☆☆9．(10分)如图所示，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC中点．(1)求证：BM∥平面PAD；(2)在△PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD.解析：(1)证明：∵M是PC的中点，取PD的中点E，则ME綊CD，又AB綊CD，∴四边形ABME是平行四边形．∴BM∥EA，BM⊄平面PAD，EA⊂平面PAD，∴BM∥平面PAD.(2)以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．则B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，M(1,1,1)，E(0,1，1)．2在平面PAD内设N(0，y，z)，则MN＝(－1，y－1，z－1)，PB＝(1,0，－2)，DB＝(1，－2,0)．∵MN⊥PB，MN⊥DB，∴MN·PB＝－1－2z＋2＝0.MN·DB＝－1－2y＋2＝0.∴y＝，z＝，N，∴N是AE的中点．∴当点N是△PAD边PD中线上的中点时，MN⊥平面PBD.3
