2.3.1抛物线的定义与标准方程1．已知5＝|3x＋4y－12|是动点M所满足的坐标方程，则动点M的轨迹是()．A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对2．在抛物线y2＝2px上，且横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为()．A．0.5B．1C．2D．43．抛物线y＝4x2上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为()．A．B．C．D．04．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为()．A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x5．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是()．A．B．C．D．36．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________．7．抛物线的焦点F在x轴上，点A(m，－3)在抛物线上，且|AF|＝5，则抛物线的标准方程为__________．8．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是__________．9．过抛物线y2＝2px(p＞0)上一定点P(x0，y0)(y0＞0)作两条直线，分别交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数．1参考答案1．C由题意得＝，即动点M到直线3x＋4y－12＝0的距离等于它到原点(0,0)的距离．由抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以原点(0,0)为焦点，以直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．2．C解析：由题意，得4＋＝5.∴p＝2.3．B设点M(x，y)，把抛物线的方程化为x2＝y，则有|MF|＝y＋＝y＋＝1，∴y＝.4．By2＝ax的焦点坐标为(，0)，则过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2(x－)，令x＝0，得y＝－.∴×·＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.5．A设直线4x＋3y＋m＝0与抛物线y＝－x2相切，则由消去y，得3x2－4x－m＝0，令Δ＝0，得m＝－.∴直线4x＋3y－8＝0与直线4x＋3y＋m＝0间的距离d＝＝.即所求的最小距离为.6．y2＝16x双曲线的右顶点为(4,0)，设抛物线方程为y2＝2px，(p＞0)，则＝4，∴p＝8.故y2＝16x.7．y2＝±2x或y2＝±18x设抛物线的标准方程为y2＝2px或y2＝－2px(p＞0)．∵A点在抛物线上，∴(－3)2＝2pm或(－3)2＝－2pm.∴m＝±.①又|AF|＝＋|m|＝5，②把①代入②可得＋＝5，即p2－10p＋9＝0.∴p＝1或p＝9.∴所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.8．＋＝1(y≠0)设抛物线的焦点为F(x，y)，如图，A，B到准线的距离为|AA′|，|BB′|，点F在与切线垂直的直线上(过切点)，四边形AA′B′B为梯形，∴|AA′|＋|BB′|＝2r＝4.又由抛物线的定义，得|FA|＝|AA′|，|FB|＝|BB′|，则|FA|＋|FB|＝4，故点F在以A，B为焦点的椭圆上，2且2a＝4，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3，故焦点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．9．解：(1)令y＝，则x＝.又抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，由抛物线的定义得，所求距离为－(－)＝.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.由y＝2px1，y＝2px0，相减得(y1－y0)(y1＋y0)＝2p(x1－x0)．∴kPA＝＝(x1≠x0)．同理可得kPB＝(x2≠x0)．由PA，PB的倾斜角互补，知kPA＝－kPB，即＝－.∴y1＋y2＝－2y0，故＝－2.证明：设直线AB的斜率为kAB，由y＝2px1，y＝2px2，相减可得kAB＝＝(x1≠x2)．将y1＋y2＝－2y0(y0＞0)代入，得kAB＝＝－(p＞0，y0＞0)．∴kAB是非零常数，即直线AB的斜率是非零常数．3
