2016-2017学年高中数学第一章常用逻辑用语1.3全称量词与存在量词课后演练提升北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列命题中既是特称命题，又是真命题的是()A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个x∈R，使x2≤0C．两个无理数的和是无理数D．存在一个负数x，使>2解析：A与C是全称命题，D是特称命题但是假命题，B是特称命题，且x＝0时满足x2≤0，故也是真命题．答案：B2．“a∥α，则a平行于α内任一条直线”是()A．真命题B．全称命题C．特称命题D．不含量词的命题解析：命题中含有“任一”全称量词，故为全称命题．答案：B3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0解析：原命题是全称命题，则其否定为特称命题，即存在x∈R，x3－x2＋1>0.答案：C4．下列命题的否定为真命题的是()A．有理数是实数B．末位数是0的整数能被5整除C．存在x0∈R，x－3＝0D．任意的x∈R，x2＋2x>0解析：A的否定是“存在有理数不是实数”，是假命题；B的否定是“有一个末位数是0的整数不能被5整除”，是假命题；C的否定是“任意x∈R，x2－3≠0”，是假命题；D的否定是“存在x0∈R，x＋2x0≤0”，是真命题．答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________________________________________________________________________．解析：命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题：“有的向量与零向量不共线”．答案：有的向量与零向量不共线6．给出以下命题：(1)对任意x∈R，有x4＞x2；(2)存在α∈R，使sin3α＝3sinα；(3)存在a∈R，对任意x∈R都有x2＋2x＋a＜0，其中的假命题是________．解析：(1)它是全称命题，举反例，当x＝时，x4＞x2不成立，是假命题；(2)它是特称命题，当α＝0时，sin3α＝3sinα成立，是真命题；(3)令函数y＝x2＋2x＋a，是二次函数，开口方向向上，不存在实数a，使x2＋2x＋a＜0成立，是假命题．答案：(1)(3)三、解答题(每题10分，共20分)7．判断下列命题是特称命题还是全称命题，并判断真假．(1)正三角形都是等腰三角形；(2)存在两条异面直线有交点；(3)任意的偶数都是正数；(4)存在一条拋物线，其图像的开口向右．解析：(1)此命题隐含了全称量词“所有的”，是全称命题；而且是真命题；(2)此命题含有存在量词“存在”，是特称命题；而且是假命题；(3)此命题含有全称量词“任意的”，是全称命题；而且是假命题；(4)此命题含有存在量词“存在”，是特称命题；而且是真命题．8．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)任意x∈R，x2＋x＋1＞0；(2)存在x∈Q，x2＋x＋1是有理数；(3)存在α、β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；(4)存在x，y∈Z，使3x－2y≠10.1解析：(1)的否定是“存在x∈R，x2＋x＋1≤0”．假命题．(2)的否定是“任意x∈Q，x2＋x＋1都不是有理数”．假命题．(3)的否定是“任意α，β∈R，使sin(α＋β)≠sinα＋sinβ”．假命题．(4)的否定是“任意x，y∈Z，使3x－2y＝10”．假命题．☆☆☆9．(10分)若三个方程x2＋ax＋1＝0，x2＋2ax＋2＝0，x2－ax＋4＝0中至少存在一个方程有实根，求a的取值范围．解析：由x2＋ax＋1＝0无实根，可知a2－4<0，即a2<4；由x2＋2ax＋2＝0无实根，可知a2－2<0，即a2<2；由x2－ax＋4＝0无实根，可知a2－16<0，即a2<16；∴当a2<2，即－
