四柱坐标系与球坐标系简介主动成长夯基达标1.如图,在柱坐标系中,长方体的两个顶点坐标为A1(4,0,5),C1(6,分π2式,5),则此长方体外接球的体积为________.解析:据顶点的柱坐标求出长方体的三度,其外接球的直径恰为长方体的对角线长.由长方体的两个顶点坐标为A1(4,0,5),C1(6,π2,5),可知OA=4,OC=6,OO1=5,则对角线长为,77654222＝＋＋那么球的体积为34·π·(277)3=.6π7777.答案:6π77772.已知点M的直角坐标为(1,-3,4),则它的柱坐标为_______.解析:设点M的柱坐标为(ρ,θ,z),则=zθ=ρ-θ=ρ4sin3cos1，，,解之,得ρ=2,θ=35π,z=4.∴点M的柱坐标为(2,35π,4).答案:(2,35π,4)3.设点M的柱坐标为(2,6π,7),则它的直角坐标为_______.1解析:设点M的直角坐标为(x,y,z),则7.z,6πsin2,6πcos2yx∴点M的直角坐标为(3,1,7).答案:(3,1,7)4.已知点M的球坐标为(2,43π,43π),则它的直角坐标为_______.解析:设M的直角坐标为(x,y,z),则∴点M的直角坐标为(-1,1,-2).答案:(-1,1,-2)5.两平行面去截球，如图,在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A(25,arctan724,θa)、B(25,π-arctan43,θB)，求出这两个截面间的距离.解析:根据已知可得球半径为25,这样,我们就可以在Rt△AOO1和Rt△BOO1中求出OO1及OO2的长度来,可得两个截面间的距离为O1O2.解:由已知,OA=OB=5,∠AOO1=arctan724,∠BOO1=π-arctan43,在△AOO1中,tan∠AOO1=724=.11OOAO OA=25,∴OO1=7.2在△BOO2中,∠BOO2=arctan43,tan∠BOO2=43=.22OOBO. OB=25,∴OO2=20.则O1O2=OO1+OO2=7+20=27.∴两个截面间的距离O1O2为27.6.在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系.有A、B两个城市，它们的球坐标分别为A(R,4π,6π)、B(R,4π,32π)，飞机应该走怎样的航线最快，所走的路程有多远？解析:我们根据A、B两地的球坐标找到地球的半径、纬度、经度,当飞机走AB两地的大圆时,飞机最快,所走的路程实际上是要求我们求出过A、B两地的球面距离.解:如图所示,因为A(R,4π,6π),B(R,4π,32π),可知∠O1AO=∠O1BO=4π,∴∠AO1O=∠BO1O=4π.又∠EOC=6π,∠EOD=32π,∴∠COD=32π-6π=2π.∴∠COD=∠AO1B=2π.在Rt△OO1B中,∠O1BO=4π,OB=R,∴O1B=O1A=22R. ∠AO1B=2π,∴AB=R.在△AOB中,AB=OB=OA=R,∴∠AOB=3π.则经过A、B两地的球面距离为3πR.3走经过A、B两地的大圆,飞机航线最短,其距离为3πR.7.结晶体的基本单位称为晶胞，图(1)是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为21的小正方体堆积成的正方体），图形中的点代表钠原子，其他点代表氯原子，如图(2)，建立空间直角坐标系O—xyz后，试写出全部钠原子所在位置的球坐标、柱坐标.解析:在空间直角坐标系中,我们需要找点的(x,y,z)；在柱坐标系中,需要找到(ρ,θ,z)；在球坐标系中,需要找到(r,φ,θ).解:把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下层的原子全部在xOy平面上,它们所在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0),(1,2π,0),(2,2π,4π),(1,2π,2π),(22,2π,4π),它们的柱坐标分别为(0,0,0),(1,0,0),(2,4π,0),(1,2π,0),(22,4π,0)；中层的原子所在的平面平行于xOy平面,与z轴交点的竖坐标为21,所以,这四个钠原子所在位置的球坐标分别为(22,4π,0),(23,arccos33,arctan21),(26,arccos66,arctan2),(22,4π,2π),它们的柱坐标分别为(21,0,21),(25,arctan21,21),(25,arctan2,21),(21,2π,21)；上层的钠原子所在的平面平行于xOy平面,与z轴交点的竖坐标为1,所以,这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(1,0,0),(2,4π,0),(3,arctan2,4π),(2，4π，2π),(25,arctan22,4π),它们的柱坐标分别为(0,0,1),(1,0,1),(2,4π,1),(1,2π,1),(22,4π,1).8.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如建筑设计中常常需4要计算空间两点间的距离试用两点的坐标表示这两点间的距离.解:(1)在平面直角坐标系中,已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),则|P1P2|=221221)()(-yy+-xx.(2)在空间直角坐标系中,如图,设P1(x1,y1,z...
