第60讲抛物线1．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离为4，则点P到该抛物线的焦点的距离是(B)A．4B．6C．8D．12因为y2＝8x的焦点F(2,0)，准线x＝－2，由P到y轴的距离为4知，P到准线的距离为6，由抛物线的定义知P到焦点F的距离为6.2．(2013·新课标卷Ⅰ)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(C)A．2B．2C．2D．4设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋＝4，所以x0＝3，所以y＝4x0＝4×3＝24，所以|y0|＝2，因为F(，0)，所以S△POF＝|OF|·|y0|＝××2＝2.3．如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝(A)A．n＋10B．n＋20C．2n＋10D．2n＋20由抛物线的定义可知|PiF|＝xi＋＝xi＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝10＋n.4．(2016·新课标卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(D)A.B．1C.D．2因为y2＝4x，所以F(1,0)．又因为曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，所以P(1,2)．将点P(1,2)的坐标代入y＝(k>0)得k＝2.故选D.5．(2018·广东七校联考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝.设A，B的横坐标分别为xA，xB，由抛物线的定义可知|AF|＝xA＋＝xA＋1＝3，所以xA＝2，又AB是抛物线的焦点弦，xA，xB满足xA·xB＝＝1，所以xB＝，所以|BF|＝xB＋＝＋1＝.6．(2016·湖南省六校联考)若以双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点F1，F2和点M(1，)为顶点的三角形为直角三角形，则y2＝4bx的焦点坐标为(1,0).显然点M(1，)为直角顶点，所以|OM|＝＝|F1F2|＝c，所以b＝1.故抛物线为y2＝4x，其焦点为(1,0)．7．已知斜率为1的直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．(1)求直线l的方程(用p表示)；(2)若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：|AB|＝x1＋x2＋p；(3)若|AB|＝4，求抛物线方程．(1)因为抛物线的焦点F的坐标为(，0)，又因为直线l的斜率为1，所以直线l的方程为：y＝x－.(2)证明：过点A，B分别作准线的垂线AA′，BB′，交准线于A′，B′，则由抛物线的定义得：|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA′|＋|BB′|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p.(3)由|AB|＝4，得x1＋x2＋p＝4，直线y＝x－与抛物线方程联立，⇒x2－3px＋＝0，由韦达定理，得x1＋x2＝3p，代入x1＋x2＋p＝4，解得p＝1，故抛物线方程为y2＝2x.8．(2017·新课标卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为(C)A.B．2C．2D．3抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1)．联立得方程组解得或因为点M在x轴的上方，所以M(3,2)．因为MN⊥l，所以N(－1,2)．所以|NF|＝＝4，|MF|＝＝4，|MN|＝＝4.所以△MNF是边长为4的等边三角形．所以点M到直线NF的距离为2.9．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足AF＝2FB，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为.设AB的中点为C，AB的延长线与准线相交于D，设A，B，C，F在准线上的投影分别为A′，B′，C′，F′，设FB＝t，则AF＝2t，由抛物线的定义，知AA′＝2t，BB′＝t，所以BB′为△DA′A的中位线，所以BD＝3t，由△DF′F∽△DC′C，得＝，所以＝，解得C′C＝.10．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围．(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为(，0)，由点(，0)在直线l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，即p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)．因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.①证明：由消去x得y2＋2py－2pb＝0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1≠y2，从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，化简得p＋2b>0.方程(*)的两根为y1,2＝－p±，从而y0＝＝－p.因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p.因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．②因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上，所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0，所以p<.因此，p的取值范围是(0，)．
