第二课时利用导数研究函数的极值与最值【选题明细表】知识点、方法题号导数研究函数的极值1,2,4,7,9导数研究函数的最值3,5,11,14导数研究函数的极值与最值综合问题6,8综合问题10,12,14基础对点练(时间:30分钟)1.(2016汕头模拟)若a>0,b>0,f(x)=4x3-ax2-2bx,且函数在x=1处有极值,则ab的最大值等于(C)(A)3(B)6(C)9(D)2解析:因为f′(x)=12x2-2ax-2b.又因为在x=1处有极值,所以a+b=6,且Δ=(-2a)2+96b>0,因为a>0,b>0,所以ab≤（）2=9,当且仅当a=b=3时取等号.所以ab的最大值等于9.故选C.2.(2016保定模拟)设a∈R,若函数y=x+alnx在区间（,e）有极值点,则a取值范围为(B)(A)（,e）(B)（-e,-）(C)(-∞,)∪(e,+∞)(D)(-∞,-e)∪(-,+∞)解析:y′=1+(x>0),y′=1+为单调函数,所以函数在区间(,e)有极值点,即f′()f′(e)<0,代入解得(1+ae)(1+)<0(a+e)(a+⇔)<0,解得-e
0,函数单调递增;当x∈(1,e]时,y′<0,函数单调递减.当x=1时,函数取得最大值-1.4.若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值,则导函数f′(x)的图象不可能是(D)解析:若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值,则此函数在某点两侧的单调性相反,也就是说导函数f′(x)在此点两侧的导函数值的符号相反,所以导函数的图象要穿过x轴,观察四个选项中的图象只有D项是不符合要求的,即f′(x)的图象不可能是D.5.(2016唐山质检)若函数y=x3-x2+a在[-1,1]上有最大值3,则该函数在[-1,1]上的最小值是(C)(A)-(B)0(C)(D)1解析:y′=3x2-3x=3x(x-1)>0,解得x>1或x<0,y′>0,解得00,解得m<-3或m>6.答案:(-∞,-3)∪(6,+∞)10.(2016长春模拟)已知函数f(x)=x-,g(x)=alnx(a∈R).(1)当a≥-2时,求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间;(2)设h(x)=f(x)+g(x),且h(x)有两个极值点为x1,x2,其中x1∈(0,],求h(x1)-h(x2)的最小值.解:(1)由题意得F(x)=x--alnx,其定义域为(0,+∞),则F′(x)=,令m(x)=x2-ax+1,则Δ=a2-4.①当-2≤a≤2时,Δ≤0,从而F′(x)≥0,所以F(x)的单调递增区间为(0,+∞);②当a>2时,Δ>0,设F′(x)=0的两根为x1=,x2=,所以F(x)的单调递增区间为(0,)和(,+∞),F(x)的单调递减区间为(,).综上,当-2≤a≤2时,F(x)的单调递增区间为(0,+∞);当a>2时,F(x)的单调递增区间为（0,）和（,+∞）,F(x)的单调递减区间为（,）.(2)对h(x)=x-+alnx,x∈(0,+∞)求导得,h′(x)=1++=,h′(x)=0的两根分别为x1,x2,则有x1·x2=1,x1+x2=-a,所以x2=,从而有a=-x1-.令H(x)=h(x)-h（）=x-+（-x-）lnx-[-x+(-x-)·...
