2.4用向量讨论垂直与平行[A.基础达标]1．已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：选C.CA＝(－5，－1，7)，CB＝(－2，3，－1)，由于CA·CB＝0且|CA|≠|CB|，所以BC⊥CA，故选C.2．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．若|a|＝，a分别与AB，AC垂直，则向量a为()A．(1，1，1)B．(－1，－1，－1)C．(1，1，1)或(－1，－1，－1)D．(1，－1，1)或(－1，1，－1)解析：选C.设a＝(x，y，z)，AB＝(－2，－1，3)，AC＝(1，－3，2)，由题意得得或3．在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，E是BC的中点，则A1E与平面AB1C1的位置关系是()A．相交但不垂直B．A1E∥平面AB1C1C．A1E⊥平面AB1C1D．A1E平面AB1C1解析：选A.建立如图所示的空间直角坐标系．取|AB|＝1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，E(，，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(0，1，1)，A1E＝(，，－1)，AB1＝(1，0，1)，AC1＝(0，1，1)，由于A1E·AB1≠0，A1E·AC1≠0，故选A.4.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．不能确定解析：选B.建立如图坐标系，A1(a，a，0)，B(a，0，a)，A(a，a，a)，C(0，0，a)，M(a，a，a)，N(a，a，a)，则MN＝(－a，0，a)，BA＝(0，a，0)MN·BA＝0，故MN⊥BA，又因为BA⊥平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.5．已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.这四个结论中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C.设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则A1M＝A1A＋AM＝－c＋a，D1P＝D1D＋DP＝－c＋a，即A1M＝D1P，故A1M∥D1P.因为B1Q＝B1B＋BQ＝－c＋b，所以B1Q与A1M不共线，故A1M和B1Q不平行，因为A1M∥D1P，D1P平面DCC1D1，D1P平面D1PQB1，所以A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1，故①③④正确．6．已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，则直线AB与平面yOz交点C的坐标是________．解析：令C的坐标为(0，y，z)，则由AB＝λAC，得解得答案：(0，2，6)7．设平面α的一个法向量为(3，2，－1)，平面β的一个法向量为(－2，－，k)，若α∥β，则k等于________．解析：因为α∥β，所以(3，2，－1)＝λ(－2，－，k)，即，解得k＝.答案：8．已知空间三点A(0，0，1)，B(－1，1，1)，C(1，2，－3)，若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________．解析：AB＝(－1，1，0)，因为AM∥AB，所以AM＝λAB＝(－λ，λ，0)，故M的坐标为(－λ，λ，1)，CM＝(－λ－1，λ－2，4)，因为CM⊥AB，所以CM·AB＝0，即λ＝，1故M的坐标为(－，，1)．答案：(－，，1)9.如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点．证明：EF∥平面SAD.证明：建立如图所示的空间直角坐标系．设A(a，0，0)，S(0，0，b)，则B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，F，EF＝.取SD的中点G，连接AG，则AG＝.因为EF＝AG，所以EF∥AG，又AG平面SAD，EF⃘平面SAD，所以EF∥平面SAD.10．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.证明：分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，E，M(1，1，m)．所以AC＝(－1，1，0)，又E、F分别为AB、BC的中点，所以EF＝AC＝.又因为B1E＝，D1M＝(1，1，m－1)，因为D1M⊥平面FEB1，所以D1M⊥EF且D1M⊥B1E.即D1M·EF＝0，且D1M·B1E＝0.所以所以m＝.故取B1B的中点M就能满足D1M⊥平面EFB1.[B.能力提升]1．已知平面α内有一点A(2，－1，2)，它的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1，1)B．(1，3，)C．(1，－3，)D．(－1，3，－)解析：选B.要判断点P是否在平面内，只需判断向量PA与平面的法向量n是否垂直，即判断PA·n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐...
