高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例高效测评 新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学试题VIP专享VIP免费

2016-2017学年高中数学第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例高效测评新人教A版选修1-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒．则所做的铁盒容积最大时，在四角截去的小正方形的边长为()A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm解析：设剪去的小正方形边长为xcm，则V＝x·(48－2x)2＝4x(24－x)2，∴V′(x)＝4(24－x)2＋8x·(24－x)(－1)，令V′(x)＝0可以得x＝8.答案：B2．某商品在最近30天的价格f(t)与时间t(天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．体积为定值V0的正三棱柱，当它的底面边长为________时，正三棱柱的表面积最小．1解析：设底面的边长为a，高为h，则V0＝a2h，∴h＝，S＝a2×2＋3ah＝a2＋3a·＝，∴S′＝，由S′＝0得a＝，所以当底面的边长为a＝时，正三棱柱的表面积最小．答案：6．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产x的关系是R(x)＝－＋400x(0≤x≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是________．解析：由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20000(0≤x≤390)．∵P′(x)＝－x2＋300，令P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0，当3000，V(x)是增函数；当100)，则宽为cm.设纸的利用率为k，于是k＝＝(x>0)，则k′＝，令k′＝0，即bS－ax2＝0，解得x＝或x＝－(舍)．当00，k单调递增，当x>时，k′<0，k单调递减，所以当x＝时，k取得最大值，此时＝.所以一页报纸的长为cm，宽为cm时，能够最大限度地节约纸张．3