6.5热点专题——数列的热点问题1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝n.(1)设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列；(2)设c1＝a1且cn＝an－an－1(n≥2)，求{cn}的通项公式．【解析】(1)证明由a1＋S1＝1及a1＝S1得a1＝.又由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1.∴2(an＋1－1)＝an－1，即2bn＋1＝bn.∴数列{bn}是b1＝a1－1＝－为首项，为公比的等比数列．(2)由(1)知2an＋1＝an＋1，∴2an＝an－1＋1(n≥2)．∴2an＋1－2an＝an－an－1(n≥2)，即2cn＋1＝cn(n≥2)，又c1＝a1＝，2a2＝a1＋1，∴a2＝.∴c2＝－＝，即c2＝c1.∴数列{cn}是首项为，公比为的等比数列．∴cn＝·＝.2．(2016·青岛模拟)已知数列{an}是等差数列，Sn为{an}的前n项和，且a10＝28，S8＝92；数列{bn}对任意n∈N*，总有b1·b2·b3·…·bn－1·bn＝3n＋1成立．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，则a10＝a1＋9d＝28，S8＝8a1＋×d＝92，解得a1＝1，d＝3，所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2.因为b1·b2·b3·…·bn－1·bn＝3n＋1，所以b1·b2·b3·…·bn－1＝3n－2(n≥2)，两式相除得bn＝(n≥2)．因为当n＝1时，b1＝4适合上式，所以bn＝(n∈N*)．(2)由(1)知cn＝＝，则Tn＝＋＋＋…＋，Tn＝＋＋＋…＋＋，所以Tn＝2＋－，从而Tn＝2＋3×－，即Tn＝7－.3．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，Sn为其前n项和．数列{bn}为等差数列，且满足b1＝a1，b4＝S3.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn＜.【解析】(1)由题意知，{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴an＝a1·2n－1＝2n－1.∴Sn＝2n－1.设等差数列{bn}的公差为d，则b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7，∴d＝2，bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)证明∵log2a2n＋2＝log222n＋1＝2n＋1，∴cn＝＝＝，∴Tn＝＝＝.∵n∈N*，∴Tn＝＜，当n≥2时，Tn－Tn－1＝－＝＞0，∴数列{Tn}是一个递增数列，∴Tn≥T1＝.综上所述，≤Tn＜.4．已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，试求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由于f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.又因为点(n，Sn)，(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，所以Sn＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5，所以，an＝6n－5(n∈N*)．(2)由(1)得bn＝＝＝，故Tn＝＝＝.5．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋2an＝3(n∈N*)，设数列{bn}满足b1＝a1，bn＝(n≥2)．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.【解析】(1)∵Sn＋2an＝3(n∈N*)，∴当n≥2时，Sn－1＋2an－1＝3，两式相减得3an＝2an－1，即＝.又当n＝1时，a1＋2a1＝3，∴a1＝1，∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，且an＝.∵当n≥2时，bn＝，两边取倒数得＝＋，∴－＝，b1＝a1＝1，∴数列是首项为1，公差为的等差数列，且＝1＋(n－1)×＝，∴bn＝.(2)由(1)可知cn＝＝n，Tn＝1＋2×＋3×＋4×＋…＋(n－1)×＋n×，①Tn＝＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×②①－②得－Tn＝1＋＋＋…＋－n×＝－2＋(2－n)×，∴Tn＝4＋2(n－2).6．数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2n－n，等差数列{bn}的各项为正实数，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3－1成等比数列．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若cn＝an·bn，当n≥2时，求数列{cn}的前n项和An.【解析】(1)当n＝1时，a1＝2－1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－n－[2n－1－(n－1)]＝2n－1－1，此式对n＝1不成立，∴an＝又由T3＝15，可得b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5.设数列{bn}的公差为d，由a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3－1成等比数列可得6－d，6，7＋d成等比数列，∴(6－d)(7＋d)＝36⇒d＝2或d＝－3(舍)．从而可得bn＝b2＋(n－2)d＝5＋(n－2)·2＝2n＋1.(2)cn＝an·bn＝当n≥2时，An＝3＋5·21＋7·22＋…＋(2n－1)·2n－2＋(2n＋1)·2n－1－[5＋7＋…＋(2n＋1)]，令Pn＝5·21＋7·22＋…＋(2n－1)·2n－2＋(2n＋1)·2n－1，①则2Pn＝5·22＋7·23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，②
