高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优生问题举例达标练习（含解析）新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题VIP免费

第一章导数及其应用1.4生活中的优生问题举例A级基础巩固一、选择题1．正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为()A.B.C．2D.解析：设底面边长为a，高为h，则V＝Sh＝a2h，所以h＝＝，则表面积为S＝3ah＋2×a2＝a2＋则S′＝a－，令S′＝a－＝0，可得a＝，即a＝.答案：D2．若一个球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为()A．2πr2B．πr2C．4πr2D.πr2解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，侧面积为S.则R＝rcosθ，l＝2rsinθ，所以S＝2πrcosθ·2rsinθ＝4πr2sinθcosθ，S′＝4πr2(cos2θ－sin2θ)＝4πr2cos2θ，令S′＝0，得θ＝.当θ＝，即R＝r时，S最大且Smax＝2πr2.答案：A3．某出版社出版一读物，一页纸上所印文字占去150cm2，上、下要留1.5cm空白，左、右要留1cm空白，出版商为节约纸张，应选用的尺寸为()A．左右长12cm，上下长18cmB．左右长12cm，上下长19cmC．左右长11cm，上下长18cmD．左右长13cm，上下长17cm解析：设所印文字区域的左右长为xcm，则上下长为cm，所以纸张的左右长为(x＋2)1cm，上下长为cm，所以纸张的面积S＝(x＋2)＝3x＋＋156.所以S′＝3－，令S′＝0，解得x＝10.当x>10时，S单调递增；当00)，为使耗电量最小，则其速度应定为________．解析：由题设知y′＝x2－39x－40，令y′>0，解得x>40或x<－1，故函数y＝x3－x2－40x(x>0)在[40，＋∞]上递增，在(0，40)上递减．所以当x＝40时，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.答案：407．做一个无盖的圆柱体水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．解析：设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，所以L＝，要使用料最省，只需使圆柱表面积最小，因为S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋π(R>0)，所以S表′(R)＝2πR－，令S表′(R)＝0，得R＝3，所以当R＝3时，S表最小．答案：38．某公司一年购买某种货物400吨，每次购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x＝________．解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，所以总运费与总存储费之和(单位：万元)f(x)＝4n＋4x＝＋4x，f′(x)＝4－，令f′(x)＝0，解得x＝20(－20舍去)，当00.2所以x＝20是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，故当x＝20时，运费与总存储费之和最小．答案：20三、解答题9.如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？解：设C点距D点xkm，则AC＝50－x(km)，所以BC＝＝(km)．又设总的水管费用为y元，依题意，得y＝3a(50－x)＋5a(0