高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质练习（含解析）新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学试题VIP免费

第一章1.31.3.2请同学们认真完成练案[8]A级基础巩固一、选择题1．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是(C)A．第8项B．第7项C．第9项D．第10项[解析]由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．2．(2020·蚌埠一模)已知(2x－1)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，则a2＝(B)A．18B．24C．36D．56[解析]对于等式(2x－1)4＝[(2x－2)＋1]4＝[1＋(2x－2)]4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4．a2＝C·22＝24．故选B．3．若9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C是11的倍数，则自然数n为(A)A．奇数B．偶数C．3的倍数D．被3除余1的数[解析]9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C＝(9n＋1＋C9n＋…＋C92＋C9＋C)－＝(9＋1)n＋1－＝(10n＋1－1)是11的倍数，∴n＋1为偶数，∴n为奇数．4．(2020·黄浦区二模)二项式(＋)40的展开式中，其中是有理项的项数共有(B)A．4项B．7项C．5项D．6项[解析]二项式(＋)40的展开式的通项为Tr＋1＝C·()40－r·()r＝C·x． 0≤r≤40，且r∈N，∴当r＝0、6、12、18、24、30、36时，∈Z．∴二项式(＋)40的展开式中，其中是有理项的项数共有7项．故选B．5．若二项式(2x＋)7的展开式中的系数是84，则实数a＝(C)A．2B．C．1D．[解析]二项式(2x＋)7的通项公式为Tr＋1＝C(2x)7－r()r＝C27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展开式中的系数是C22a5＝84，解得a＝1．6．(2020·南安高二检测)233除以9的余数是(A)A．8B．4C．2D．1[解析]233＝(23)11＝(9－1)11＝911－C910＋C99＋…＋C9－1＝9(910－C99＋…＋C－1)＋8，∴233除以9的余数是8.故选A．二、填空题7．(2019·天津理，10)8的展开式中的常数项为__28__．[解析]8的通项为Tr＋1＝C8－r·r＝C28－rr·x8－4r．令8－4r＝0，得r＝2，∴常数项为T3＝C262＝28．8．已知(x－)8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是__1或38__．[解析]Tr＋1＝Cx8－r(－)r＝(－a)r·C·x8－2r，令8－2r＝0得r＝4，由条件知，a4C＝1120，∴a＝±2，令x＝1得展开式各项系数的和为1或38．9．如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为__2n－1__．13356571111791822189…[解析]由1,3,5,7,9，…，可知它们成等差数列，所以an＝2n－1．三、解答题10．对二项式(1－x)10，(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项；(2)求展开式中各二项式系数之和；(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．[解析](1)展开式共11项，中间项为第6项，T6＝C(－x)5＝－252x5．(2)C＋C＋C＋…＋C＝210＝1024．(3)设(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，令x＝0，得a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1．B级素养提升一、选择题1．(1－x)13的展开式中系数最小的项为(B)A．第9项B．第8项C．第7项D．第6项[解析]展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．故系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．2．(多选题)若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值可以是(AC)A．B．C．D．[解析]由得∴＜x＜.故选AC．二、填空题3．观察下列等式：(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6，(1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8，……由以上等式推测：对于n∈N*，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a2＝____．[解析]观察给出各展开式中x2的系数：1,3,6,10，据此可猜测a2＝．4．设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0，则(1)a8＋a7＋…＋a1＝__255__；(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝__32_896__．[解析]令x＝0，得a0＝1．(1)令x＝1得(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，①∴a8＋a7＋…＋a2＋a1＝28－a0＝256－1＝255．(2)令x＝－1得(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0.②①＋②得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)，∴a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝(28＋48)＝32896．三、解答题5．(2019·江苏卷，22)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n≥4，n∈N*.已知a＝2a2a4．(1)求n的值...