高中数学 第2章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 间接证明课后导练 苏教版选修1-2-苏教版高二选修1-2数学试题VIP免费

2.2.2间接证明课后导练基础达标1．反证法是（）A.从结论的反面出发,推出矛盾的证法B.对其否命题的证明C.对其逆命题的证明D.分析法的证明方法答案：A2．命题“△ABC中,若∠A＞∠B,则a＞b”的结论的否定应该是（）A.a＜bB.a≤bC.a=bD.a≥b解析：“大于”的否定是“不大于”即“小于”或“等于”.答案：B3．命题“关于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是（）A.无解B.两解C.至少两解D.无解或至少两解解析：“唯一”的意思是“有且只有一个”，其反面应该为D.答案：D4．如果两个实数之和为正数,则这两个数（）A.一个是正数,一个是负数B.两个都是正数C.至少有一个是正数D.两个都是负数解析：由反证法的意义知C真.答案：C5．在数列:11,111,1111,…中（）A.有完全平方数B.没有完全平方数C.有偶数D.没有3的倍数解析：易见没偶数，且有3的倍数，如111.知C、D假.假设有完全平方数，它必为奇数的平方.设为1111个n=(2K+1)2(K为正整数)，则11111个n0=4K（K+1），两边除以2得51555个n=2K（K+1），此式左边为奇数，而右边为偶数，自相矛盾.答案：B6．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说：“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是（）A.甲B.乙C.丙D.丁解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是错的，同理，可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙.答案：C7．反证法的关键是推出矛盾,通常可导致哪些方面的矛盾?__________.答案：与已知定义、公理、定理及明显数学事实相矛盾，与已知条件相矛盾，与假设自相矛盾等18．在空间是否存在这样的多面体,它有奇数个面,且它的每个面又都有奇数条边?__________.解析：假设多面体有n个面（n为奇数），且每个面的边数分别为S1，S2，…，Sn（Si为奇数，i=1,2,…,n），则多面体的总边数为S，因为每条边都是公用的，所以S1+S2+…+Sn=2S.这里左边为奇数个奇数的和，为奇数；但右边为偶数，矛盾.答案：不存在（或不可能有）9．对于函数f(x)=x1,找不到这样的正数A,使得在整个定义域内|f(x)|＜A恒成立,试加以证明.证明：f(x)的定义域为（-∞,0）∪(0,+∞).假设存在一个正数A，使得当x≠0时，恒有|f(x)|＜A成立，即|x1|＜A(A＞0)对x≠0恒成立.我们取x=A21代入上式，得A211＜A,即|2A|＜A.∵A＞0,∴2A＜A,即2＜1.这就导致矛盾，于是命题得证.10．求证:正弦函数没有比2π小的正周期.证明：假设T是正弦函数的周期，且0＜T＜2π，则对任意实数x都有sin(x+T)=sinx成立，令x=0，得sinT=0,即T=kπ,k∈Z.又0＜T＜2π,故T=π,从而对任意实数x都有sin(x+π)=sinx，这与sin(2+π)≠sin2矛盾.所以正弦函数没有比2π小的正周期.综合运用11．若a、b、c、d都是有理数,dc、都是无理数,证明当dbca时,必有a=b,c=d.证明：假设a≠b,令a=b+m(则m是不等于零的有理数)，于是b+m+c=b+d.∴m+c=d,两边平方整理得mmcdc22,左边是无理数右边是有理数，矛盾，因此a=b.从而又得c=d.12．试证明抽屉原理:如果将m个物体放在n个抽屉里,则至少有一个抽屉含有［n1m］2+1个物体(其中［n1m］表示不超过n1m的最大整数).命题简单化就是:把5个苹果放进2个抽屉里,则可断言至少有一个抽屉放着不少于3个的苹果.证明：（用反证法）小于m的n的最大倍数是由nm1减去其分数部分所得的整数，即是［nm1］.假设不存在有一个抽屉含有［nm1］+1个物体，即每个抽屉含的物体最多是［nm1］个，而总共有n个抽屉，所以这n个抽屉所含的物体的总数小于等于n［nm1］≤n·nm1=m-1＜m,这与已知有m个物体矛盾，所以至少有一个抽屉里有［nm1］+1个（或更多）物体.拓展探究13．用反证法证明:若函数f(x)在区间［a,b］上是增函数,那么方程f(x)=0在区间［a,b］上至多只有一个实根.思路分析：函数f(x)在区间［a,b］上是增函数，就是表明对区间［a,b］上任意x1,x2，若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)，所以如果反设方程f(x)=0在区间［a,b］上至少有两个根α,β(α＜β)，则有f(α)=f(β)=0这与假设矛盾.证明：假设方程f(x)=0在区间［a,b］上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根.因为α≠β,不妨设α＜β，又因为函数f(x)在［a,b］上是增函数，所以f(α)＜f(β).这与假设f(α)=0=f(β)矛盾,所以方程f(x)=0在区间［a,b］上至多只有一个实根.3