课时分层作业(八)椭圆的简单几何性质(建议用时：60分钟)一、选择题1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为()A．(－1,0)，(1,0)B．(－6,0)，(6,0)C．(－，0)，(，0)D．(0，－)，(0，)D[∵椭圆方程化为标准式为＋x2＝1，∴a2＝6，且焦点在y轴上，∴长轴端点坐标为(0，－)，(0，)．]2．椭圆＋＝1与＋＝1(0b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为()A．B．C．D．D[在Rt△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2．将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0,解得e＝，因为00)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．[解]椭圆方程可化为＋＝1，因为m－＝>0，所以m>．即a2＝m，b2＝，c＝＝．由e＝得，＝，所以m＝1．所以椭圆的标准方程为x2＋＝1，所以a＝1，b＝，c＝．所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F1，F2，四个顶点分别为A1(－1,0)，A2(1，0)，B1，B2．10．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆的中心在原点，左焦点为F1(－，0)，且右顶点为D(2,0)．设点A的坐标是．(1)求该椭圆的标准方程；(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．[解](1)因为a＝2，c＝，所以b＝＝1．所以椭圆的标准方程为＋y2＝1．(2)设P(x0，y0)，M(x，y)，由中点坐标公式，得所以又因为＋y＝1，所以＋2＝1，即为中点M的轨迹方程．1．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是()A．(0,3)B．C．(0,3)∪D．(0,2)C[当k＞4时，c2＝k－4，由条件知＜＜1，解得k＞；当0＜k＜4时，c2＝4－k，由条件知＜＜1，解得0＜k＜3，综上知选C．]2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过P，则椭圆C的标准方程是________．＋＝1[∵椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，∴＝，则＝．∵椭圆C经过点P，∴＋＝1，∴a2＝4，b2＝3．∴椭圆C的方程为＋＝1．]3．已知点P为椭圆x2＋2y2＝98上一个动点，点A的坐标为(0,5)，则|PA|的最小值为________．2[设P(x，y)，则|PA|＝＝，因为点P为椭圆x2＋2y2＝98上一点，所以x2＝98－2y2，－7≤y≤7，则|PA|＝＝，因为－7≤y≤7，所以当y＝7时，|PA|min＝2．]4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若AP＝2PB，则椭圆的离心率是________．[由AP＝2PB，得|AO|＝2|FO|(O为坐标原点)，即a＝2c，则离心率e＝．]5．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且PF1·PF2＝c2，求椭圆离心率的取值范围．[解]设P(x0，y0)，则PF1＝(－c－x0，－y0)，PF2＝(c－x0，－y0)，所以PF1·PF2＝(－c－x0)(c－x0)＋(－y0)2＝x－c2＋y．因为P(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1．所以y＝b2，所以PF1·PF2＝x－c2＋b2＝c2，解得x＝．因为x0∈[－a，a]，所以x∈[0，a2]，因为0≤≤a2，所以2c2≤a2≤3c2．即≤≤，所以≤≤，即椭圆离心率的取值范围是．
