高中数学第2章推理与证明2.2.1直接证明自主练习苏教版选修2-2我夯基我达标1.已知f(x)=是奇函数，那么实数a的值等于()A.1B.-1C.0D.±1思路解析：函数的定义域为R，函数为奇函数且x=0时f(0)=0,即=0,∴a=1,从而求出较为简单.也可根据奇函数的定义f(-x)=-f(x)恒成立,即,即恒成立，即2a+a·2x+1=2x+1+2∴a=1成立,较烦琐.答案:A2.已知a、b是不相等的正数，x=,y=,则x、y的关系是()A.x＞yB.y＞xC.x＞yD.不确定思路解析：要比较x、y的大小，∵x＞0,y＞0，只需比较x2、y2的大小，即与a+b的大小.∵a、b为不相等的正数，∴＜a+b.∴＜a+b，即x2＜y2.∴x＜y.答案:B3.已知p=(a＞2),q=(a＞2),则()A.p＞qB.p＜qC.p≥qD.p≤q思路解析：p与q不能直接进行比较，只s能先判断p和q的取值范围.∵a＞2,∴p=a+=a-2++2≥2+2=4.而q=.∵a＞2,∴-(a-2)2+2＜2.∴=4.∴q＜4,从而作出比较.答案:A4.若sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,则cos(α-β)=_____________.思路解析：观察已知条件中有三个角α、β、γ，而所求结论中只有两个角α、β,所以我们只需将已知条件中的角γ消去即可，依据sin2γ+cos2γ=1消去γ.即sinγ=-(sinα+sinβ),cosγ=-(cosα+cosβ),∴(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=sin2γ+cos2γ=1,1整理得出cos(α+β)的值即可.答案:5.设a=,b=-,c=-,则a、b、c的大小关系为______________.思路解析：可通过作差进行比较,,可进一步比较与的大小,即比较()2与7的大小，即与7的大小，∵＞2,∴5+2＞7,∴a＞b,同理可比较a、c;b、c的大小.答案:a＞c＞b6.在△ABC中,三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列.求证：△ABC为等边三角形.思路分析：本题可直接翻译已知条件，由余弦定理解答.证明：∵A、B、C成等差数列，∴B=60°.∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos60°=a2+c2-ac.∴a=c.∴△ABC为正三角形.我综合我发展7.已知A、B是△ABC的两个内角，向量m=i+j,其中i,j为相互垂直的单位向量，若|m|=.证明tanAtanB=.思路分析：本题由向量的模的计算公式转为三角函数关系式,再由三角函数公式证出.证明：∵|m|=,∴cos2.∴,即cos(A-B)-cos(A+B)=0.∴cos(A-B)=cos(A+B),cosAcosB+sinAsinB=cosAcosBsinAsinB.∴cosAcosB.∴tanAtanB=.8.若=1(a、b、x、y∈R+,且a≠b),求证：x+y≥()2.思路分析：本题可构造或进行代换加以变形证出.证法一：∵x、y、a、b＞0,且=1,2∴x+y=(x+y)()=(a+b)+≥a+b+=()2.证法二：=1,得y==.∵x、y、a、b＞0,且=1,∴x＞a,x-a＞0.∴x+y≥a+b+=()2.9.已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1.求证：(1)a2+b2+c2≥;(2)≤.思路分析：已知条件为一次式等式，所证的为二次不等式和根式不等式，需将次数统一，出现a+b+c换为1来解答.证法一：(1)∵a2+,∴.∴a2+b2+c2≥.(2)∵,∴.∴.证法二：(1)∵a+b+c=1,∴(a+b+c)2=1.∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1.∵a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,∴3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1.∴a2+b2+c2≥.(2)∵a、b、c∈R+,∴a+b≥,b+c≥,c+a≥.∴2(a+b+c)≥2().∴a+b+c+++≤3(a+b+c)=3.∴(+)2≤3.∴+≤.3
