高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合例题与探究 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学试题VIP免费

1.2排列与组合典题精讲【例1】用1、2、3、4、5、6这六个数字可组成多少个无重复数字且不能被5整除的五位数？思路分析:组成符合条件的五位数可分两步，首先确定个位数字，然后再确定其他各位数字；或按是否含有5这个特殊的数字，分为两类;或由所有1—6这6个数组成的五位数，去掉1—6这6个数组成可被5整除的五位数.解法一：不能被5整除，末位只能从1、2、3、4、6五个数字中选1个，有15A种方法；再从余下5个数字中选4个放在其他数位,有45A种方法.由乘法原理，所求五位数有15A45A=600(个).解法二：不含有数字5的五位数有55A个；含有数字5的五位数，末位不选5有14A种方法，其余数位有45A种选法，含有5的五位数有14A45A个.因此可组成不能被5整除的无重复数字的五位数有55A+14A45A=600(个).解法三：由1—6组成的无重复数字的五位数有56A个，其中能被5整除的有45A个.因此，所求的五位数共有56A-45A=720-120=600(个).绿色通道：若从最高位数字开始考虑，则问题就无法解决.被5整除的数，个位数字必须是0或5，因此，被5整除的问题，一般从个位数字开始考虑.变式训练1用0、1、2、3、4、5这六个数字可组成多少个无重复数字且能被5整除的五位数？思路解析:分为两类：一类是个位数字为0，再从余下的5个数字中选4个放在其余数位上有45A种方法；另一类是个位数字为5，由于0不能放在首位，所以在1、2、3、4中选一个数放在首位有4种方法，然后从余下的4个数中选3个放在中间三个数位上有34A种方法，此时有434A种方法.故由加法原理可得能被5整除的五位数有45A+434A=216(个).答案:216.变式训练2用0、1、2、3、4、5这六个数字可组成多少个无重复数字的五位偶数？思路解析:分为两类：一类是个位数字为0，再从余下的5个数字中选4个放在其余数位上有45A种方法；另一类是个位数字为2或4，由于0不能放在首位，所以余下4个数中选一个数放在首位有4种方法，然后余下的4个数选3个放在中间三个数位上有34A，此时有2×4×34A种方法.故由加法原理可得五位偶数有45A+2×4×34A=312(个).答案:312.【例2】从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有()A.140种B.84种C.70种D.35种思路解析:取出的3台电视机中要求至少有甲型与乙型各1台，它包括两种可能：2台甲型与11台乙型、1台甲型与2台乙型，所以可用分类原理和分步原理来解决，另外也可以用间接法解决.方法一：从4台甲型电视机中取2台和5台乙型电视机中取1台有24C·15C种取法；从4台甲型电视机中取1台和5台乙型电视机中取2台有14C·25C种取法.所以共有24C·15C+14C·25C=70(种)，故应选C.方法二：从所有的9台电视机中取3台有39C种取法，其中全部为甲型的有34C种取法，全部为乙型的有35C种取法，则至少有甲型与乙型各1台的取法共有39C-34C-35C=70(种)，故应选C.答案:C黑色陷阱：解决这类问题最容易出现的错误就是产生重复，比如首先从4台甲型电视机与乙型电视机中各取1台，有14C·15C种取法，再在剩下的7台电视机中任取1台，有17C种取法，所以不同的取法共有14C·15C·17C=140种.这种看起来很不错的解法实际上是错误的，因为它产生了重复.避免产生重复的方法就是“先分类后分步”.变式训练1假设200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有()A.319723CC种B.（4197135200CCC）种C.319823CC种D.（319723CC+219733CC）种思路解析:已知200件产品中有3件次品，197件合格品，则至少有2件次品的抽法为2件次品、3件合格品或3件次品、2件合格品，所以其抽法有219733319723CCCC.答案:D变式训练2某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机,从中选购5台,且至少有品牌机和兼容机各2台,则不同的选购方法有()A.1050种B.700种C.350种D.200种思路解析:分两类:(1)从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容机中选2台;(2)从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台.所以不同的选购方法有36C25C+26C35C=350(种).答案:C【例3】（1）写出从5个元素a,b,c,d,e中任取三个元素的所有组合,并求出其组合数.思路分析:考虑画出如下树形图,注意按给出字母从左到右的顺序来考虑.2解：根据树形图，所有...