第一章不等关系与基本不等式章末检测试卷(一)(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．如果a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是()A．ab＞acB．c(b－a)＞0C．cb2＜ab2D．ac(a－c)＜0答案C解析因为b可能为0，当b2＝0时，cb2等于ab2.2．已知|x－a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}，则实数a等于()A．1B．2C．3D．4答案C解析由|x－a|＜b，得a－b＜x＜a＋b，由已知得⇒3．“|x|≤2”是“|x＋1|＜1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案B解析|x＋1|＜1⇒－1＜x＋1＜1⇒－2＜x＜0，故选B.4．已知a，b，c均为正数，且a＋2b＋3c＝3，则abc的最大值为()A．1B.C.D.答案C5．已知函数f(x)＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()A．一定大于0B．一定小于0C．等于0D．正负都有可能答案B6．已知x＞1，y＞1，且lgx＋lgy＝4，则lgxlgy的最大值是()A．4B．2C．1D.答案A1解析∵x＞1，y＞1，∴lgx＞0，lgy＞0.∴4＝lgx＋lgy≥2.∴lgxlgy≤4，当且仅当x＝y时取等号．7．若关于x的不等式|x－1|＋|x＋m|＞3的解集为R，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－4)∪(2，＋∞)B．(－∞，－4)∪(1，＋∞)C．(－4,2)D．[－4,1]答案A解析由题意知，不等式|x－1|＋|x＋m|＞3对任意x∈R恒成立，又|x－1|＋|x＋m|≥|(x－1)－(x＋m)|＝|m＋1|，故|m＋1|＞3，所以m＋1＜－3或m＋1＞3，所以m的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．8．使不等式＋＞1＋成立的正整数a的最大值为()A．10B．11C．12D．13答案C解析用分析法可证a＝12时不等式成立，a＝13时不等式不成立．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9．设n∈N＋，n＞1，则logn(n＋1)与logn＋1(n＋2)的大小关系为__________________．答案logn(n＋1)＞logn＋1(n＋2)解析因为n＞1，所以＝logn＋1(n＋2)·logn＋1n≤2＝2＜2＝1，故logn(n＋1)＞logn＋1(n＋2)．10．若正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最大值是________．答案解析＋＝＝＝2－，由a＋b＝1≥2知，ab≤，所以＋＝2－≤2－＝，当且仅当a＝b＝时取最大值．11．函数f(x)＝3x＋(x>0)的最小值为________．答案9解析f(x)＝3x＋＝＋＋≥3＝9，当且仅当＝，即x＝2时取等号．12．若n为正整数，则2与2＋的大小关系是________．答案2＜2＋解析要比较2与2＋的大小，只需比较(2)2与2的大小，即比较4n＋4与4n＋4＋的大小．因为n为正整数，所以4n＋4＋＞4n＋4.所以2＜2＋.三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分)213．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋xy＝30，求xy的取值范围．解∵x＞0，y＞0，∴x＋2y≥2＝2·，∴30≥2·＋xy，令＝t＞0，∴t2＋2t－30≤0，∴0＜t≤3，∴0＜xy≤18，即xy的取值范围是(0,18]．14．若a＞0，b＞0，且＋＝.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？说明理由．解(1)由＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立．所以a3＋b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a＋3b≥2·≥4，由于4＞6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.15．设a，b，c为三角形的三边，求证：＋＋≥3.证明设x＝b＋c－a，y＝a＋c－b，z＝a＋b－c，则a＋b＋c＝x＋y＋z，a＝(y＋z)，b＝(x＋z)，c＝(x＋y)．此时，原不等式等价于＋＋≥3.而＋＋＝≥＝3，当且仅当a＝b＝c时“＝”成立．∴原不等式成立．16．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)≤m－f(－n)成立，求实数m的取值范围．解(1)由|2x－a|＋a≤6，得|2x－a|≤6－a，∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1.(2)由(1)知f(x)＝|2x－1|＋1，令φ(n)＝f(n)＋f(－n)，则φ(n)＝|2n－1|＋|2n＋1|＋2＝∴φ(n)的最小值为4，故实数m的取值范围是[4，＋∞)．17．(2018·全国Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．3解(1)f(x)＝y＝f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上恒成立，因此a＋b的最小值为5.18．已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.证明要证≥8成立，只需证··≥8成立．∵a＋b＋c＝1，∴只需证··≥8成立，即··≥8，∴只需证··≥··≥8成立，而··≥8显然成立，∴≥8成立．4
