第13课时抛物线的简单几何性质(限时：10分钟)1．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2＋y2－2x－2y＝0的圆心的抛物线的方程是()A．y2＝2xB．x2＝2y或y2＝－2xC．x2＝y或y2＝xD．y2＝x或x2＝－y解析：圆x2＋y2－2x－2y＝0的圆心为(1,1)，代入四个选项检验知，点(1,1)在抛物线x2＝y或y2＝x上，故选C.答案：C2．抛物线y2＝ax的焦点坐标为，则抛物线ax2＋y＝0的准线方程是()A．y＝B．y＝1C．y＝－D．y＝－1解析： 抛物线y2＝ax的焦点坐标是，∴＝.∴a＝.代入ax2＋y＝0得x2＝－2y，∴所求准线方程为y＝.答案：A3．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在解析：由定义|AB|＝5＋2＝7， |AB|min＝4，∴这样的直线有且仅有两条．答案：B4．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝__________.解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及抛物线定义可得，x1＋1＝3，∴x1＝2.∴A点坐标为(2,2)，则直线AB的斜率为k＝＝2.∴直线AB的方程为y＝2(x－1)．由消去y得，2x2－5x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝.∴|BF|＝x2＋1＝.答案：5．已知抛物线y2＝2x，过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程．解析：方法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点为M(x，y)，则y1＋y2＝2y，kAB＝＝. 两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，∴2y·＝2，即2y·＝2，即2＝x－.当AB⊥x轴时，AB的中点为(2,0)，适合上式，故所求轨迹方程为2＝x－.方法二：设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)，由得y2－y＋1－2k＝0.由已知可知恒成立．1设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为P(x，y)，∴y1＋y2＝，y1y2＝，∴x1＋x2＝(y＋y)＝[(y1＋y2)2－2y1y2]＝＝，∴消去参数k，得2＝x－.当AB⊥x轴时，AB的中点为(2,0)，适合上式，故所求轨迹方程为2＝x－.(限时：30分钟)1．设抛物线的顶点在原点，其焦点为双曲线－y2＝1的右顶点，则当点(，y)在抛物线上时，y的值是()A.B．－2C．±D．±2解析：由双曲线－y2＝1得抛物线的焦点为(，0)，则抛物线方程为y2＝4x，所以当x＝时，y＝±2.答案：D2．若抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其通径的两端与顶点的连线组成的三角形的面积为4，则此抛物线的方程为()A．y2＝8xB．y2＝±4xC．y2＝±4xD．y2＝±8x解析：由题意S＝×2p×＝4，∴p2＝8，p＝2.又 抛物线的焦点在x轴上，∴y2＝±4x.答案：B3．若点P为抛物线y2＝2px(p＞0)上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴()A．相交B．相切C．相离D．位置由F确定解析：设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋，F.记PF的中点为M，则M的横坐标为＝＋＝|PF|.∴以PF为直径的圆与y轴相切．答案：B4．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝()A．2B．2C．4D．2解析：由抛物线定义知，＋2＝3，所以p＝2，抛物线方程为y2＝4x.因为点M(2，y0)在此抛物线上，所以y＝8，于是|OM|＝＝2.故选B.答案：B5．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正方向的夹角为60°，则|OA|为()A.B.C.pD.p2解析：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，令|FD|＝m，则|FA|＝2m，由抛物线定义知|FA|＝|AB|，即p＋m＝2m，∴m＝p.∴|OA|＝＝p.答案：B6．抛物线y＝x2上的点到直线2x－y＝4的距离的最小值为__________．解析：设P(x0，x)为抛物线y＝x2上的一点，则P到直线2x－y＝4的距离d＝＝.∴当x0＝1时，dmin＝.答案：7．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝__________.解析：直线AB的方程为y＝x－，由消去y得x2－3px＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝3p.根据抛物线定义，|BF|＝x2＋，|AF|＝x1＋，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，∴p＝2.答案：28．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为________．解析：抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F的坐标为，则直线l的方程为y＝2，它与y轴的交点为A，∴...
