3.4.2-4.3圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点[基础达标]过点(2，4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选B.易知点(2，4)在抛物线上，从而这样的直线有两条，一条为切线，一条与x轴平行．方程＝|x＋y＋2|表示的曲线是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．线段解析：选B. ＝|x＋y＋2|，∴＝>1.∴由圆锥曲线的共同特征知该方程表示双曲线．曲线y＝和y＝－x＋公共点的个数为()A．3B．2C．1D．0解析：选C.y＝可化为x2＋y2＝1(y≥0)，其图形为半圆，在同一坐标系中画出两曲线的图形，直线与半圆相切．若椭圆上的点P到一个焦点的距离最小，则点P是()A．椭圆短轴的端点B．椭圆长轴的一个端点C．不是椭圆的顶点D．以上都不对解析：选B.由圆锥曲线的共同特征知，点P到右焦点的距离|PF2|＝de＝(－x0)e＝a－ex0.当x0＝a时，|PF2|最小．直线l：y＝x＋3与曲线－＝1交点的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选D.当x≤0时，曲线方程可化为＋＝1，即椭圆y轴左侧部分；当x＞0时，曲线方程可化为－＝1，即双曲线y轴右侧部分，如图可知直线y＝x＋3与曲线有三个交点．已知斜率为1的直线过椭圆＋y2＝1的右焦点交椭圆于A，B两点，则弦AB的长是________．解析：由，得5x2－8x＋8＝0.∴设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝，e＝，|AB|＝2×2－e(x1＋x2)＝4－×＝.答案：已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条准线与抛物线y2＝－6x的准线重合，则a＝________．1解析：抛物线y2＝－6x的准线方程为x＝.由双曲线准线方程的求法得＝，∴a2＝c.又b＝1，c2＝a2＋b2，∴c2＝a2＋1，即c2＝c＋1，解得c＝2或c＝－(舍去)，∴a＝.答案：直线y＝kx＋1与曲线mx2＋5y2＝5m(m>0)恒有公共点，则m的取值范围是________．解析：将y＝kx＋1代入mx2＋5y2＝5m，得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，对k∈R，总有实数解．∴Δ＝20m(m－1＋5k2)≥0，对k∈R恒成立． m>0，∴m≥1－5k2恒成立，∴m≥1.即m的取值范围为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)一动点到定直线x＝3的距离是它到定点F(4，0)的距离的，求这个动点的轨迹方程．解：法一：由题意知，动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为2，则动点的轨迹为双曲线，且离心率e＝＝2.又定点F(4，0)与定直线x＝3是双曲线相应的右焦点和右准线，得c－＝4－3＝1.又 c＝2a且c－＝1，∴a＝且c＝，∴双曲线的中心O′的坐标为.又b2＝c2－a2＝－＝，∴双曲线的方程为－＝1.法二：由题意知，设动点为P(x，y)，则|x－3|＝，两边平方，得(x－3)2＝(x－4)2＋y2.化简，得－＝1即为所求．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．解：(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.故所求抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，由消去x，得y2＋2y－2t＝0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.由直线OA与l的距离等于可得＝，解得t＝±1.因为－1∉[－，＋∞)，1∈[－，＋∞)，所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.[能力提升]若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是()A.B.∪C.D.∪解析：选B.C1：(x－1)2＋y2＝1，C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．2当m＝0时，C2：y＝0，此时C1与C2显然只有两个交点；当m≠0时，要满足题意，需要圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝m(x＋1)有两个交点，当圆与直线相切时，m＝±，即直线处于两切线之间时满足题意，则－b>0)，右焦点为F,右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2,若d2＝d1，则椭圆C的离心率为________．解析：依题意，d2＝－c＝.又BF＝＝a，所以d1＝.由已知可得＝·，所以c2＝ab，即6c4＝a2(a2－c2)，整理可得a2＝3c2，所以离心率e＝＝.答案：已知双曲线－＝1的离心率e＞1＋，左、右焦...
