第二章圆锥曲线与方程一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知抛物线的方程为y＝2ax2，且过点(1,4)，则焦点坐标为()A.B.C．(1,0)D．(0,1)解析： 抛物线过点(1,4)，∴4＝2a，∴a＝2，∴抛物线方程为x2＝y，焦点坐标为.答案：A2．设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析： y2＝8x的焦点为(2,0)，∴＋＝1的右焦点为(2,0)，∴m>n且c＝2.又e＝＝，∴m＝4. c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12.∴椭圆方程为＋＝1.答案：B3．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2，则点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．直线D．抛物线解析：依题意，PA＝(－2－x，－y)，PB＝(3－x，－y)．又PA·PB＝x2，∴(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，即y2＝x＋6.∴点P的轨迹是抛物线．答案：D4．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为()A.B.C.D.解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，所以其渐近线方程为y＝±x，因为点(4，－2)在渐近线上，所以＝，根据c2＝a2＋b2，可得＝，解得e2＝，e＝.答案：D5．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1或＋＝1D.＋＝1解析：2c＝6，∴c＝3，∴2a＋2b＝18，a2＝b2＋c2，∴∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.答案：C6．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1·PF21的最小值为()A．1B．0C．－2D．－解析：设点P(x0，y0)，则x－＝1，由题意得A1(－1,0)，F2(2，0)，则PA1·PF2＝(－1－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x－x0－2＋y，由双曲线方程得y＝3(x－1)，故PA1·PF2＝4x－x0－5(x0≥1)，可得当x0＝1时，PA1·PF2有最小值－2.故选C.答案：C7．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()A．x2＝2y－1B．x2＝2y－C．x2＝y－D．x2＝2y－2解析：设P(x0，y0)，PF的中点为(x，y)，则y0＝x，又F(0,1)，∴∴代入y0＝x得2y－1＝(2x)2，化简得x2＝2y－1，故选A.答案：A8．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是()A.B.C．1D.解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为x－y＝0或x＋y＝0，则焦点到渐近线的距离d1＝＝或d2＝＝.答案：B9．直线y＝x＋b与抛物线x2＝2y交于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，则b＝()A．2B．－2C．1D．－1解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组消去y，得x2－2x－2b＝0，所以x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2，又OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，即b2－2b＝0，解得b＝0(舍)或b＝2.答案：A10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，所以F(－6,0)是双曲线的左焦点，即a2＋b2＝36，又双曲线的一条渐近线方程是y＝x，所以＝，解得a2＝9，b2＝27，所以双曲线的方程为－＝1，故选B.答案：B211．若动圆圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点()A．(4,0)B．(2,0)C．(0,2)D．(0，－2)解析：抛物线y2＝8x上的点到准线x＋2＝0的距离与到焦点(2,0)的距离相等，故动圆必过焦点(2,0)．答案：B12．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于()A.或B.或2C.或2D.或解析：设圆锥曲线的离心率为e，由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，知①若圆锥曲线为椭圆，由椭圆的定义，则有e＝＝＝；②若圆锥曲线为双曲线，由双曲线的定义，则有e＝＝＝.综上，所求的离心率为或.故选A.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且满足|PF2|＝|F1F2|，则...
