2016-2017学年高中数学第3讲圆锥曲线性质的探讨高效整合新人教A版选修4-1一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β；④若点P到三角形三条边的距离相等，则点P在该三角形内部的射影是该三角形的内心．其中正确命题的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①互相平行的两条直线在同一平面内的射影可能是同一条直线，①错；③只有当α⊥β时，此命题才成立，③错；②、④正确，故正确命题的个数为2个．答案：B2．下列说法不正确的是()A．圆柱面的母线与轴线平行B．圆柱面的任一轴截面总是垂直于直截面(垂直于母线的截面)C．圆柱面被平面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜截面的夹角有关D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径解析：A显然正确；轴截面总过轴线，因此轴截面与直截面垂直，∴B正确；由公式e＝cosφ知，C正确；短轴长实际上是圆柱面的直径，故D错．答案：D3．一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴为8，长轴的两端点到顶点的距离分别是6和10，则椭圆的离心率为()A．B．C．D．解析：如图所示为截面的轴面，则AB＝8，SB＝6，SA＝10，则∠SBA＝，cos∠ASB＝，cos∠BSP＝cos∠ASB＝＝.∴cos∠SPB＝sin∠BSP＝.∴e＝＝.答案：C4．已知平面上直线l的方向向量e＝，点O(0,0)和A(1，－2)在l上的正射影分别是O′和A′，且O′A′＝λe，则λ＝()A．B．－C．2D．－2解析： OA＝(1，－2)，∴O′A′＝·e＝·e＝－2e，∴λ＝－2.答案：D5．两条相交直线在一个平面内的平行射影一定是()A．相交直线B．一条直线C．平行直线D．无法确定1解析：如下图所示，图①中射影为两相交直线，图②中射影为一条直线，∴选D．答案：D6．圆锥的顶角为60°，截面与母线所成的角为60°，则截面所截得的截线是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：由题意知截面与圆锥的轴线成90°角，即截面是圆锥的正截面，故截线为圆．答案：A7．如右图，圆柱的轴截面是边长为5cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C的最短距离为()A．10cmB．cmC．5cmD．5cm解析：如图是圆柱的侧面展开图，则AC长为圆柱面上从A到C的最短距离．设圆柱的底面半径为r，则r＝.∴底面圆周长l＝2πr＝5π，∴AB＝π.AD＝BC＝5，∴AC＝＝＝(cm)．答案：B8．若圆柱的一正截面(垂直于轴的截面)的截线为半径r＝3的⊙O，该圆柱的斜截面与轴线成60°角，则截线椭圆的离心率e＝()A．B．C．D．解析：依题意，在椭圆中，a＝＝＝2，b＝r＝3，∴c＝＝＝，∴e＝＝.答案：C9．如图，一个圆柱被一个平面所截，截面椭圆的长轴长为5，短轴长为4，被截后的几何体的最短母线长为2，则这个几何体的体积为()A．20πB．16πC．14πD．8π解析：由已知圆柱底面半径r＝2.即直径为4.设截面与圆柱母线成α角，则sinα＝，∴cosα＝.2∴几何体的最长母线长为2＋2acosα＝2＋5×＝5.用一个同样的几何体补在上面，可得一个底半径r＝2，高为7的圆柱，其体积为V＝π×22×7＝28π.∴所求几何体的体积为V＝14π.答案：C10．已知平面α⊥平面β，α∩β＝a，A∈α，B∈β，AB＝2cm，直线AB与平面α所成角为30°，与平面β所成角为45°，则两点A、B在交线a上的正射影的距离是()A．B．C．1D．解析：如右图，作BD⊥a于D，AC⊥a于C，连接AD、BC，则D、C分别为B、A在直线a上的正射影． 平面α⊥β，∴BD⊥α，AC⊥β，∴∠BAD＝30°，∠ABC＝45°，在Rt△BAD中，AB＝2，BD＝2sin30°＝1.在Rt△ABC中，BC＝ABcos45°＝2×＝.在Rt△BDC中，DC＝＝＝1.故选C．答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为6，则圆柱面的半径为________.解析：由2a＝6，即a＝3，又e＝cos45°＝，故b＝c＝ea＝×3＝，即为圆柱面的半径．答案：12．已知圆锥面的轴截面为等腰直角...
