第一讲第一节平面直角坐标系一、选择题(每小题5分，共20分)1．点P(2,3)关于y轴的对称点是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(2，－3)D．(－2，－3)解析：点(x，y)关于y轴的对称点坐标为(－x，y)．所以点(2,3)关于y轴的对称点坐标是(－2,3)．答案：B2．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝1，则曲线C的方程为()A．50x2＋72y2＝1B．9x2＋100y2＝1C．10x2＋24y2＝1D．x2＋y2＝1解析：将坐标直接代入新方程，即可得原来的曲线方程．将直接代入2x′2＋8y′2＝1，得2·(5x)2＋8(3y)2＝1，则50x2＋72y2＝1即为所求曲线C的方程．答案：A3．函数y＝2sin，先保持横坐标不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍；再保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，则其函数为()A．y＝sinB．y＝6sinC．y＝6sinD．y＝sin解析：纵坐标伸长3倍得到y＝6sin，再将横坐标缩为原来的，得到y＝6sin答案：B4．将曲线F(x，y)＝0上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的，得到的曲线方程为()A．F＝0B．F＝0C．F＝0D．F＝0解析：由横坐标伸长到原来的2倍知，x′＝纵坐标缩短到原来的知y′＝3y.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．将对数曲线y＝log3x的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为__________________.解析：设P(x，y)为对数曲线y＝log3x上任意一点，变换后的对应点为P′(x′，y′)，由题意知伸缩变换为∴代入y＝log3x，得y′＝log3x′，即y＝log3.答案：y＝log36．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin2x变为曲线y′＝sinx′的伸缩变换是__________________.1解析：设则μy＝sinλx，即y＝sinλx.比较y＝3sin2x与y＝sinλx，则有＝3，λ＝2.∴μ＝，λ＝2.∴答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知矩形ABCD，对于矩形所在的平面内任意一点M，求证：AM2＋CM2＝BM2＋DM2.解析：以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立如下图所示平面直角坐标系xOy，则A(0,0)．设B(a,0)，C(a，b)，D(0，b)，M(x，y)则AM2＋CM2＝x2＋y2＋(x－a2)＋(y－b)2＝2(x2＋y2)＋(a2＋b2)－2(ax＋by)，BM2＋DM2＝(x－a)2＋y2＋x2＋(y－b)2＝2(x2＋y2)＋(a2＋b2)－2(ax＋by)，∴AM2＋CM2＝BM2＋DM2.8．在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－36y2－8x＋12＝0变成曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．解析：x2－36y2－8x＋12＝0可化为2－9y2＝1.①x′2－y′2－4x′＋3＝0可化为(x′－2)2－y′2＝1.②比较①②，可得即所以将曲线x2－36y2－8x＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0的图象．☆☆☆9．(10分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图所示，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＋＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)．观测点A(4,0)，B(6,0)．(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x轴上方时，问航天器离观测点A，B分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？解析：(1)设曲线方程为y＝ax2＋，∵点D(8,0)在抛物线上，∴a＝－，∴曲线方程为y＝－x2＋.(2)设变轨点为C(x，y)，根据题意可知得4y2－7y－36＝0.y＝4或y＝－(舍去)，∴y＝4.得x＝6或x＝－6(舍去)．∴C点的坐标为(6,4)，|AC|＝2，|BC|＝4，所以当航天器离观测点A，B的距离分别为2，4时，应向航天器发出变轨指令．2
