高考数学总复习 4.8 解三角形的综合应用演练提升同步测评 文 新人教B版-新人教B版高三全册数学试题VIP免费

4.8解三角形的综合应用A组专项基础训练(时间：40分钟)1．(2017·山西太原五中4月模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝，a＝2，S△ABC＝，则b的值为()A.B.C．2D．2【解析】在锐角△ABC中，sinA＝，S△ABC＝，∴cosA＝＝，bcsinA＝bc·＝，∴bc＝3，①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴(b＋c)2＝a2＋2bc(1＋cosA)＝4＋6×＝12，∴b＋c＝2.②由①②得b＝c＝，故选A.【答案】A2．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里【解析】如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．【答案】A3．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，则客船在静水中的速度为()A．8km/hB．6km/hC．2km/hD．10km/h【解析】设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ＝＝，从而cosθ＝，所以由余弦定理得＝＋12－2××2×1×，解得v＝6.选B.【答案】B4．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()A．240(＋1)mB．180(－1)mC．120(－1)mD．30(＋1)m【解析】如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60m，在Rt△ACD中，CD＝＝＝60m，在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝60(2－)m，∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)m.【答案】C5．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()A．5B．15C．5D．15【解析】在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝15.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.【答案】D6．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.【解析】如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝×30＝10(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝＝＝10(m)．【答案】107．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.【解析】如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.又AB＝200m，∴AC＝m.在△ACD中，由余弦定理得，AC2＝2CD2－2CD2·cos120°＝3CD2，∴CD＝AC＝m.【答案】8．(2016·洛阳统考)如图，在△ABC中，sin＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝，则cos∠C＝________．【解析】由条件得cos∠ABC＝，sin∠ABC＝.在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，则由余弦定理得9b2＝a2＋4－a.①因为∠ADB与∠CDB互补，所以cos∠ADB＝－cos∠CDB，所以＝－，所以3b2－a2＝－6，②联合①②解得a＝3，b＝1，所以AC＝3，BC＝3.在△ABC中，cos∠C＝＝＝.【答案】9．(2017·辽宁沈阳二中月考)在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．【解析】(1)如图，AB＝40，AC＝10，∠BAC＝θ，sinθ＝.由于0°＜θ＜90°，所以cosθ＝＝.由余弦定理得BC＝＝10.所以船的行驶速度为＝15(海里/小时)．(2)如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中，由余弦定理得，cos∠ABC＝＝＝.从而sin∠ABC＝＝＝.在△ABQ中，由正弦定理得，AQ＝＝＝40，由于AE＝55＞40＝AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE＝AE－AQ＝15.过点E作EP⊥BC于点P...