高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理习题 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学试题VIP免费

第一章1.31.3.1二项式定理A级基础巩固一、选择题1．在(x－)10的二项展开式中，x4的系数为(C)A．－120B．120C．－15D．15[解析]Tr＋1＝Cx10－r(－)r＝(－)r·Cx10－2r令10－2r＝4，则r＝3．∴x4的系数为(－)3C＝－15．2．(2018·全国卷Ⅲ理，5)5的展开式中x4的系数为(C)A．10B．20C．40D．80[解析]5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C·22＝40．故选C．3．若二项式(－)n的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为(C)A．6B．10C．12D．15[解析] T5＝C()n－4·(－)4＝24·Cx是常数项，∴＝0，∴n＝12．4．(湖南高考)(x－2y)5的展开式中x2y3的系数是(A)A．－20B．－5C．5D．20[解析]展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x)5－r·(－2y)r＝()5－r·(－2)rCx5－ryr．当r＝3时为T4＝()2(－2)3Cx2y3＝－20x2y3，故选A．5．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中，若x5与x6的系数相等，则n＝(B)A．6B．7C．8D．9[解析]二项式(1＋3x)n的展开式的通项是Tr＋1＝C1n－r·(3x)r＝C·3r·xr.依题意得C·35＝C·36，即＝3×(n≥6)，得n＝7．6．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是(D)A．－297B．－252C．297D．207[解析]x5系数应是(1＋x)10中含x5项的系数减去含x2项的系数．∴其系数为C＋C(－1)＝207．二、填空题7．(2018·河南二模)(x2＋－2)n展式中的常数项是70，则n＝__4__．[解析] (x2＋－2)n＝(x－)2n的展式的通项公式为Tr＋1＝C·(－1)r·x2n－2r，令2n－2r＝0，求得n＝r，故展开式的常数项为(－1)n·C＝70，1求得n＝4．故答案为4．8．设a＝sinxdx，则二项式(a－)6的展开式中的常数项等于__－160__．[解析]a＝sinxdx＝(－cosx)|＝2，二项式(2－)6展开式的通项为Tr＋1＝C(2)6－r·(－)r＝(－1)r·26－r·Cx3－r，令3－r＝0得，r＝3，∴常数项为(－1)3·23·C＝－160．9．(2018·天津理，10)在5的展开式中，x2的系数为____．[解析]5的展开式的通项为Tr＋1＝Cx5－rr·x－＝rCx5－.令5－＝2，解得r＝2.故展开式中x2的系数为2C＝．三、解答题10．在8的展开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；(2)倒数第3项．[解析](1) T5＝C·(2x2)8－4·4＝C·24·x，∴第5项的二项式系数是C＝70，第5项的系数是C·24＝1120．(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T7＝C·(2x2)8－6·6＝112x2．B级素养提升一、选择题1．(1＋2)3(1－)5的展开式中x的系数是(C)A．－4B．－2C．2D．4[解析](1＋2)3(1－)5＝(1＋6＋12x＋8x)(1－)5，故(1＋2)3(1－)5的展开式中含x的项为1×C(－)3＋12xC＝－10x＋12x＝2x，所以x的系数为2．2．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是(A)A．＜x＜B．＜x＜C．＜x＜D．＜x＜[解析]由得∴＜x＜．二、填空题3．(2018·潍坊一模)(1＋x)(1－2)5展开式中x2的系数为__120__.(用数字填写答案)[解析] (1－2)5的展开式的通项为Tr＋1＝C·15－r·(－2)r＝(－2)r·C·x，取＝2，得r＝4，取，得r＝2，∴(1＋x)(1－2)5展开式中x2的系数为(－2)4·C＋(－2)2·C＝80＋40＝120．故答案为120．4．若x>0，设(＋)5的展开式中的第三项为M，第四项为N，则M＋N的最小值为____．[解析]T3＝C·()3()2＝x，T4＝C·()2·()3＝，∴M＋N＝＋≥2＝．三、解答题5．(2016·湛江高二检测)在二项式(－)n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．(1)求n的值；2(2)求展开式中二项式系数最大的项；(3)求展开式中系数最大的项．[解析](1)C＋C＝2·C，∴n2－9n＋8＝0； n≥2，∴n＝8．(2) n＝8，∴展开式共有9项，故二项式系数最大的项为第5项，即T5＝C()4·(－)4＝．(3)研究系数绝对值即可，解得2≤r≤3， r∈N，∴r＝2或3. r＝3时，系数为负．∴系数最大的项为T3＝7x．6．(2016·金华高二检测)已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7，(1)试求f(x)的展开式中的x2的系数的最小值；(2)对于使f(x)的展开式的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；(3)利用(1)中m与n的值，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)[解析](1)根据题意得：C＋C＝7，即m＋n＝7①，f(x)的展开式中的x2的系数为C＋C＝＋＝．...