第2节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考试要求1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知识梳理1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x，y的解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题[常用结论与易错提醒]1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.2.在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.()(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.()(5)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域.()1解析(1)不等式x－y＋1>0表示的平面区域在直线x－y＋1＝0的下方.(4)直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距是.答案(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√2.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是()A.(0，0)B.(－1，1)C.(－1，3)D.(2，－3)解析把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合，故选C.答案C3.(必修5P86T3改编)不等式组表示的平面区域是()解析x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2＜0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.答案B4.(2018·浙江卷)若x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最小值是________，最大值是________.解析由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2，2)，(1，1)，(4，－2)为顶点的三角形及其内部区域(图略).由线性规划的知识可知，目标函数z＝x＋3y在点(2，2)处取得最大值，在点(4，－2)处取得最小值，则最小值zmin＝4－6＝－2，最大值zmax＝2＋6＝8.答案－285.(2019·嘉兴检测)实数x，y满足若z＝3x＋y的最小值为1，则正实数k＝________.解析因为k>0，则题中的不等式组表示的平面区域为以(1，0)，，为顶点的三角形区域(包含边界)，易得当目标函数z＝3x＋y经过平面区域内点时，z＝3x＋y取得最小值zmin＝＋＝1，解得k＝.答案6.(2018·丽水月考)已知整数x，y满足不等式则2x＋y的最大值是________；x2＋y2的最小值是________.2解析满足不等式组的可行域如图所示，由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，由图可知，当直线y＝－2x＋z过A时，直线在y轴上的截距最大，由可得即A点坐标为(8，8)，z最大值等于2×8＋8＝24.x2＋y2的最小值是可行域的B到原点距离的平方，由可得B(2，2)，可得22＋22＝8.答案248考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】(1)(2019·杭州质检)设不等式组所表示的区域面积为S(m∈R).若S≤1，则()A.m≤－2B.－2≤m≤0C.0
