高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2-2.2.2 椭圆的简单几何性质 第2课时 椭圆方程及性质的应用练习 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

2.2.2椭圆的简单几何性质第2课时椭圆方程及性质的应用A级基础巩固一、选择题1．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是()A．±B．±C．±D．±解析：由条件可得F1(－3，0)，PF1的中点在y轴上，所以P坐标(3，y0)，又P在＋＝1的椭圆上得y0＝±，所以M的坐标.答案：A2．如图所示，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：由条件知：F1(－2，0)，B(0，1)，所以b＝1，c＝2，所以a＝＝，所以e＝＝＝.答案：D3．已知椭圆＋＝1的上焦点为F，直线x＋y－1＝0和x＋y＋1＝0与椭圆分别相交于点A，B和C，D，则|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝()A．2B．4C．4D．8答案：D4．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为()A.B.C.D.解析：由消去y整理得7x2＋12x＋8＝0，由弦长公式得|AB|＝×＝.答案：B5．已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过其中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为()A．6B．15C．20D．12解析：S＝|OF|·|y1－y2|≤|OF|·2b＝12.答案：D二、填空题6．已知椭圆＋＝1，以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中点的弦所在的直线斜率为________．1答案：－7．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为____________________．解析：由题意得2a＝12，＝，所以a＝6，c＝3，b＝3，故椭圆G的方程为＋＝1.答案：＋＝18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________________．答案：＋＝1三、解答题9．已知直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M、N两点，且|MN|＝.求直线l的方程．解：设直线l与椭圆的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消y并化简，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝0.由|MN|＝，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，所以(1＋k2)(x1－x2)2＝，所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝.即(1＋k2)＝.化简，得k4＋k2－2＝0，所以k2＝1，所以k＝±1.所以所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.10．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点P(2，3)，且它的离心率e＝.(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆(x＋1)2＋y2＝1相切的直线l：y＝kx＋t交椭圆于M，N两点，若椭圆上一点C满足OM＋ON＝λOC，求实数λ的取值范围．解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知得：解得所以椭圆的标准方程为：＋＝1.(2)因为直线l：y＝kx＋t与圆(x＋1)2＋y2＝1相切，所以＝1⇒2k＝(t≠0)．把y＝kx＋t代入＋＝1并整理得：(3＋4k2)x2＋8ktx＋(4t2－48)＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝－，y1＋y2＝kx1＋t＋kx2＋t＝k(x1＋x2)＋2t＝.因为，λOC＝(x1＋x2，y1＋y2)，所以C.又因为点C在椭圆上，所以，＋＝1⇒λ2＝＝.因为t2＞0，所以＋＋1＞1，所以0＜λ2＜1，所以λ的取值范围为(－1，0)∪(0，1)．2B级能力提升1．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为()A.B．－C.D．－答案：D2．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交C于点B，若FA＝3FB，则|AF|＝________．解析：设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，所以c2＝1，即c＝1，所以右焦点F(1，0)．所以由FA＝3FB得(1，n)＝3(x0－1，y0)．所以1＝3(x0－1)且n＝3y0.所以x0＝，y0＝n.将x0，y0代入＋y2＝1，得×＋＝1.解得n2＝1，所以|AF|＝＝＝.答案：3．如图所示，点A、B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．解：(1)由已知可得点A(－6，0)，F(4，0)，设点P的坐标是(x，y)，则AP＝(x＋6，y)，FP＝(x－4，y)．由已知得则2x2＋9x－18＝0，即得x＝或x＝－6.由于y＞0，只能x＝，于是y＝.所以点P的坐标是.(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0.设点M的坐标是(m，0)，则M到直线AP的距离是，于是＝|m－6|，又－6≤m≤6，解得m＝2，设椭圆上的点(x，y)到点M的距离d，有d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝＋15，由于－6≤x≤6.所以当x＝时，d取最小值.3