高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2.2 椭圆方程及性质的应用综合提升案 新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学试题VIP免费

2-1-2-2椭圆方程及性质的应用综合提升案·核心素养达成[限时40分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若|AB|＝8，则|AF1|＋|BF1|的值为A．10B．12C．16D．18解析∵|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝4a，∴|AF1|＋|BF1|＝4×5－8＝12.答案B2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是A．相交B．相切C．相离D．不确定解析直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．故选A.答案A3．过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A、B两点，则|AB|＝A．4B．2C．1D．4解析∵＋y2＝1中a2＝4，b2＝1，∴c2＝3，∴F2(，0)，将x＝代入＋y2＝1，得y＝±，故|AB|＝1.答案C4．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为A．1B．－1C．－D．以上都不对解析表示椭圆上的点(x，y)与定点(2，0)连线的斜率．不妨设＝k，则过定点(2，0)的直线方程为y＝k(x－2)．由，得(k2＋4)x2－4k2x＋4k2－4＝0.令Δ＝(－4k2)2－4(k2＋4)·(4k2－4)＝0，得k＝±，∴kmin＝－，即的最小值为－.答案C5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若FA＝3FB，则|AF|＝A.B．2C.D．3解析设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1，0)．由FA＝3FB得(1，n)＝3(x0－1，y0)．∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.∴x0＝，y0＝n.将x0，y0代入＋y2＝1，得×＋＝1.解得n2＝1，∴|AF|＝＝＝.答案A6．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的1交点个数为A．至多一个B．2C．1D．0解析依题意＞2，∴＜2.即m2＋n2＜4∴＋＜＋＜1故点P(m，n)在椭圆内，因此有两个交点．答案B二、填空题(每小题5分，共15分)7．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是________．解析由消去y，得3x2＋4x－2＝0.设弦的两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，中点坐标为(x中，y中)，则x1＋x2＝－，∴x中＝－.从而y中＝x中＋1＝－＋1＝，∴中点坐标为.答案8．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则OA·OB等于________．解析不妨设直线l过椭圆的右焦点F(1，0)，则直线l的方程为y＝x－1，由消去y，得3x2－4x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝0，∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝－＋1＝－.答案－9．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3，0)，|AM|＝1，且PM·AM＝0，则|PM|的最小值是________．解析易知点A(3，0)是椭圆的右焦点．∵PM·AM＝0，∴AM⊥PM.∴|PM|2＝|AP|2－|AM|2＝|AP|2－1.∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|AP|min＝2，∴|PM|min＝.答案三、解答题(共35分)10．(10分)设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点．(1)求实数b的取值范围；2(2)当b＝1时，求|AB|.解析(1)将y＝x＋b代入＋y2＝1，消去y，整理得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.①因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2>0，解得－b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，求证：MN⊥AB.解析(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝.进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.(2)证明由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得NM＝.又AB＝(－a，b)，从而有AB·NM＝－a2＋b2＝(5b2－a2)．由(1)的计算结果可知a2＝5b2，所以AB·NM＝0，故MN⊥AB.3