第1讲平面向量1.(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝()A.AB－ACB.AB－ACC.AB＋ACD.AB＋AC解析：作出示意图如图所示．EB＝ED＋DB＝AD＋CB＝×(AB＋AC)＋(AB－AC)＝AB－AC.故选A.答案：A2．(2017·高考全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为()A．3B．2C.D．2解析：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，所以圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝，因为P在圆C上，所以P，又AB＝(1,0)，AD＝(0,2)，AP＝λAB＋μAD＝(λ，2μ)，所以λ＋μ＝2＋cosθ＋sinθ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tanφ＝2)，当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.故选A.答案：A3．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB＋PC)的最小值是()A．－2B．－C．－D．－1解析：如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则PA＝(－x，－y)，PB＝(－1－x，－y)，PC＝(1－x，－y)，所以PA·(PB＋PC)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋22－，当x＝0，y＝时，PA·(PB＋PC)取得最小值，为－.答案：B4．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝1________.解析：易知|a＋2b|＝＝＝2.答案：21.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹一定经过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：设BC的中点为D，则由OP＝OA＋λ(AB＋AC)，可得AP＝λ(AB＋AC)＝2λAD，所以点P在△ABC的中线AD所在的射线上，所以动点P的轨迹一定经过△ABC的重心．故选C.答案：C2.如图所示，O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M为BC边的中点，则AM·AO的值为()A．2B．12C．6D．5解析：延长AO交圆O于点D，连接BD，CD(图略)，则∠ABD＝∠ACD＝90°.因为M为BC边的中点，所以AM＝(AB＋AC)．易知AO＝AD，所以AM·AO＝(AB＋AC)·AD＝(AB·AD＋AC·AD)＝(|AB|·|AD|cos∠BAD＋|AC|·|AD|cos∠CAD)＝(|AB|2＋|AC|2)＝(42＋22)＝5.故选D.答案：D3．称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则()A．a⊥bB．a⊥(a－b)C．b⊥(a－b)D．(a＋b)⊥(a－b)解析：由d(a，tb)≥d(a，b)，可知|a－tb|≥|a－b|，所以(a－tb)2≥(a－b)2，又|b|＝1，所以t2－2(a·b)t＋2(a·b)－1≥0.因为上式对任意t∈R恒成立，所以Δ＝4(a·b)2－4[2(a·b)－1]≤0，即(a·b－1)2≤0，所以a·b＝1.于是b·(a－b)＝a·b－|b|2＝1－12＝0，所以b⊥(a－b)．故选C.答案：C4.如图所示，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，动点P在以AB为直径的圆弧APB上，则PC·PD的取值范围是________．2解析：设CD的中点为M，连接PM(图略)，则PC·PD＝(PM－CD)·(PM＋CD)＝|PM|2－|CD|2＝|PM|2－4.易知|PM|∈[2，2]，故PC·PD的取值范围是[0,16]．答案：[0,16]3
