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（新高考）高考数学二轮复习 主攻40个必考点 三角函数与解三角形、平面向量 考点过关检测五 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

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考点过关检测（五）1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.(1)求A；(2)若a＋b＝2c，求sinC.解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝＝.因为0°0，∴sinB＝2sinBcosC，∴cosC＝.∵C∈(0，π)，∴C＝.(2)由(1)及余弦定理得cosC＝＝，又c＝2，∴a2＋b2－12＝ab，∴(a＋b)2－12＝3ab≤32，即(a＋b)2≤48(当且仅当a＝b＝2时等号成立)．∴△ABC周长的最大值为6.4．(2019·莆田质检)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosB＋b＝a.(1)求C；(2)如图，若a＝b，D为△ABC外一点，AD∥BC，AD＝CD＝2，求四边形ABCD的面积．解：(1)在△ABC中，由正弦定理得sinCcosB＋sinB＝sinA，又A＝π－(B＋C)，所以sinCcosB＋sinB＝sin(B＋C)，即sinCcosB＋sinB＝sinBcosC＋cosBsinC，所以sinBcosC＝sinB.又B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以cosC＝.所以C∈(0，π)，所以C＝.(2)因为AD∥BC，故∠CAD＝∠ACB＝.在△ACD中，因为AD＝CD＝2，所以∠ACD＝∠CAD＝，故∠ADC＝，所以AC2＝22＋22－2×2×2cos＝12.又∠ACB＝，AC＝BC，所以S△ACB＝AC·BCsin＝AC2＝3.又S△ACD＝CD·ADsin＝，所以四边形ABCD的面积为3＋.5．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sinAcos2A－cos(B＋C)＝sin3A＋.(1)求A的大小；(2)若b＝2，求△ABC面积的取值范围．解：(1)∵4sinAcos2A－cos(B＋C)＝sin3A＋，∴4sinAcos2A＋cosA＝sin3A＋，∴2sin2AcosA＋cosA＝sin2AcosA＋cos2AsinA＋，sin2AcosA－cos2AsinA＋cosA＝，即sin(2A－A)＋cosA＝.∴sinA＋cosA＝，即sin＝.又A∈，∴A＋＝，即A＝.(2)由(1)得B＋C＝，∴C＝－B，∵△ABC为锐角三角形，∴－B∈且B∈，解得B∈，在△ABC中，由正弦定理得＝，∴c＝＝＝＋1，又B∈，∴∈(0，)，∴c∈(1,4)，∵S△ABC＝bcsinA＝c，∴S△ABC∈.故△ABC面积的取值范围为.
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