高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.4 用向量讨论垂直与平行课时作业（含解析）北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题VIP免费

课时作业9用向量讨论垂直与平行时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(D)A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝解析： l1∥l2，设a＝λb，∴(2,4,5)＝λ(3，x，y)，∴x＝6，y＝.2．已知l∥π，且l的方向向量为(2，m,1)，平面π的法向量为，则m＝(A)A．－8B．－5C．5D．8解析： l∥π，∴直线l的方向向量与平面π的法向量垂直．∴2＋＋2＝0，m＝－8.3．若两个不同平面π1，π2的法向量分别为n1＝(1,2，－2)，n2＝(－3，－6,6)，则(A)A．π1∥π2B．π1⊥π2C．π1，π2相交但不垂直D．以上均不正确解析： n1＝－n2，∴n1∥n2，∴π1∥π2.4．若平面α与β的法向量分别是a＝(1,0，－2)，b＝(－1,0,2)，则平面α与β的位置关系是(A)A．平行B．垂直C．相交不垂直D．无法判断解析：因为a＝－1·b，所以a∥b.因此两个平面平行．5．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是(D)A．(，，－)B．(，－，)C．(－，，)D．(－，－，－)解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，AB＝(－1,1,0)，AC＝(－1,0,1)．由n·AB＝0，n·AC＝0，得令z＝1，得x＝y＝1.所以n＝(1,1,1)，|n|＝，得平面ABC的单位向量为(，，)或(－，－，－)，故选D.6．在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E为正方体的棱AA1的中点，F为棱AB上的一点，且∠C1EF＝90°，则点F的坐标为(A)A.B.C.D.解析：设F(2，m,0)(0≤m≤2)，由题意知，E(2,0,1)，C1(0,2,2)，则C1E＝(2，－2，－11)，EF＝(0，m，－1)， ∠C1EF＝90°，∴C1E·EF＝0，即－2m＋1＝0，解得m＝，∴点F的坐标为.7．已知平面α内有一点A(2，－1,2)，它的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(B)A．(1，－1,1)B．(1,3，)C．(1，－3，)D．(－1,3，－)解析：要判断点P是否在平面内，只需判断向量PA与平面的法向量n是否垂直，即判断PA·n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验．对于选项A，PA＝(1,0,1)，则PA·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，PA＝(1，－4，)，则PA·n＝(1，－4，)·(3,1,2)＝0，故选B.8．已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是(D)A．(1，－4,2)B.C.D．(0，－1,1)解析：因为PM＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的一个法向量，则必须满足把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.二、填空题9．设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(－2,4，－8)垂直，则平面α与β位置关系是平行．解析：因为a＝b，所以a∥b.因为平面α与向量a垂直，所以平面α与向量b也垂直．而平面β与向量b垂直，所以α∥β.10．若A(0,2，)，B(1，－1，)，C(－2,1，)是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则xyz＝23(－4)．解析：AB＝(1，－3，－)，AC＝(－2，－1，－)，由得解得∴xyz＝yy(－y)＝23(－4)．11．如图，已知矩形ABCD，PA＝AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于2.解析：先建立如图所示的空间直角坐标系，设|BQ|＝b，则2A(0,0,0)，Q(1，b,0)，P(0,0,1)，B(1,0,0)，D(0，a,0)，所以PQ＝(1，b，－1)，QD＝(－1，a－b,0)． PQ⊥QD，∴b2－ab＋1＝0. b只有一解，∴Δ＝0，可得a＝2.三、解答题12．如图所示的五面体中，四边形ABCD是正方形，DA⊥平面ABEF，AB∥EF，AE⊥AF，DA＝AF＝1，AE＝，P，Q分别为AE，BD的中点．求证：PQ∥平面BCE.证明： AE＝，AF＝1，AE⊥AF，∴∠AEF＝30°. AB∥EF，∴∠EAB＝30°.以A为原点，AE，AF，AD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，则E(，0,0)，B(，－，0)，D(0,0,1)，C(，－，1)，∴EB＝(－，－，0)，BC＝(0,0,1)．设平面BCE的法向量为n＝(x1，y1，z1)．由得令x1＝1，得平面BCE的一个法向量为n＝(1，－，0)． P，Q分别为AE，BD的中点，∴P(，0,0)，Q(，－，)，∴PQ＝(－，－，)，∴n·PQ＝－＋＝0，∴PQ⊥n，又PQ⃘平面BCE，∴PQ∥平面BCE.13．如图，在四棱锥E...