2.2.2抛物线的简单性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．以抛物线y2＝2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系为()A．相交B．相离C．相切D．不确定【解析】设P(x0，y0)，则以|PF|为直径的圆半径r＝.又圆心到y轴的距离d＝，∴该圆与y轴相切．【答案】C2．过点M(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线共有()A．1B．2C．3D．4【解析】由于M(2,4)在抛物线上，故满足条件的直线共有2条，一条是与x轴平行的线，另一条是过M的切线，如果点M不在抛物线上，则有3条直线．【答案】B3．设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，抛物线上的点(k，－2)与F的距离为4，则k的值为()A．4B．－2C．4或－4D．2或－2【解析】由题意知抛物线方程可设为x2＝－2py(p>0)，则＋2＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y，将(k，－2)代入得k＝±4.【答案】C4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2【解析】抛物线的焦点F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－.即x＝y＋，将其代入y2＝2px＝2p＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0.所以＝p＝2.所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.【答案】B5．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()A．18B．24C．36D．48【解析】不妨设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为x＝.代入y2＝2px得y＝±p，即|AB|＝2p，又|AB|＝12，故p＝6，所以抛物线的准线方程为x＝－3，故S△ABP＝×6×12＝36.【答案】C二、填空题6．抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为________．【解析】过焦点且与对称轴垂直的弦是通径，即2p＝16，所以抛物线的方程为x2＝1±16y.【答案】x2＝±16y7．设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2)，若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为________.【解析】由已知得点B的纵坐标为1，横坐标为，即B将其代入y2＝2px得p＝，则点B到准线的距离为＋＝p＝.【答案】8．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．则使抛物线方程为y2＝10x的必要条件是________(要求填写合适条件的序号)．【解析】由抛物线方程y2＝10x，知它的焦点在x轴上，所以②适合．又 它的焦点坐标为F，原点O(0,0)，设点P(2,1)，可得kPO·kPF＝－1，∴⑤也合适．而①显然不合适，通过计算可知③④不合题意．∴应填序号为②⑤.【答案】②⑤三、解答题9．如图223所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，求此抛物线的方程．图223【解】过A，B分别作准线的垂线AA′，BD，垂足为A′，D，则|BF|＝|BD|，又2|BF|＝|BC|.∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又|AF|＝3，∴|AA′|＝3，|AC|＝6，|FC|＝3.∴F到准线距离p＝|FC|＝，∴y2＝3x.10．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线的方程．【解】 过焦点F，垂直于x轴的弦长为4<36，∴弦所在直线斜率存在，设弦所在的直线的斜率为k，且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点． 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，∴设直线方程为y＝k(x－1)．由整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝.∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝＋2.又|AB|＝36，∴＋2＝36.∴k＝±.故所求直线的方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1)．2[能力提升]1．过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1等于()A．45°B．90°C．60°D．120°【解析】如图，由抛物线定义知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以∠AA1F＝∠AFA1，又∠AA1F＝∠A1FO，所以∠AFA1＝∠A1FO，同理∠BFB1＝∠B1FO，于是∠AFA1＋∠BFB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1.故∠A1FB1＝90°.【答案】B2．若点P在y2＝x上，点Q在(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的...
