高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法课后训练 新人教B版选修2-2-新人教B版高二选修2-2数学试题VIP免费

2.3数学归纳法课后训练1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋121n＜n(n∈N＋，n＞1)时，第一步应验证不等式()．A．11+<22B．111+<223C．111+<323D．1111+<32342．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋121n＜f(n)(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了()项．A．1B．kC．2k－1D．2k3．观察下列式子：2131+22，221151+233，22211171+2344，…，则可归纳出1＋212＋213＋…＋211n小于()．A．1nnB．211nnC．211nnD．21nn4．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N＋，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()．A．30B．26C．36D．65．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足“当f(k)≥k2成立时总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．”那么下列命题总成立的是()．A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立6．观察下列不等式：11>2，111+>123,11131+2372，1111>22315＋＋＋＋,11151>23312＋＋＋＋，…，由此猜测第n个不等式为________．7．用数学归纳法证明“当n∈N＋时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”，当n＝1时，原式为________________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是________________．8．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为________________________．19．是否存在常数a，b使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋1)对于一切n∈N＋都成立？若存在，求出a，b，并证明；若不存在，说明理由．10．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(2－1)(an＋2)，n＝1,2,3，….(1)求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}中，b1＝2，bn＋1＝3423nnbb，n＝1,2，3，….证明：2＜bn≤a4n－3，n＝1,2,3，….2参考答案1.答案：BnN＋，n＞1，∴n取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为211213.2.答案：D1＋12＋13＋…＋1121k－11111232k＝12k＋121k＋…＋1121k，共增加了2k项．3.答案：C所猜测的分式的分母为n＋1，分子恰好是第n＋1个正奇数，即2n＋1.4.答案：C f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，∴f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除．证明：当n＝1,2时，由上得证，设当n＝k(k≥2)时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)－f(k)＝(2k＋9)·3k＋1－(2k＋7)·3k＝(6k＋27)·3k－(2k＋7)·3k＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2(k≥2)f(k＋1)能被36整除． f(1)不能被大于36的数整除，∴所求的最大的m的值等于36.5.答案：D由数学归纳法原理可得，若f(3)≥9成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立，故A不正确．若f(5)≥25成立，则当k≥5时，均有f(k)≥k2成立，故B不正确．若f(7)＜49成立，则当k≤6时，均有f(k)＜k2成立，故C不正确．若f(4)＝25＞42成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立．6.答案：1＋12＋13＋…＋121n＞2n由3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测第n个不等式为1＋12＋13＋…＋121n＞2n.7.答案：7．1＋2＋22＋23＋2425k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4当n＝1时，原式应加到25×1－1＝24，∴原式为1＋2＋22＋23＋24，从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k＋1＋…＋25(k＋1)－1.8.答案：25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2.9.答案：分析：令n＝1,2解方程组求得a，b的值，再用数学归纳法证明a，b的值对一切nN＋等式都成立．解：假设存在a，b使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋1)对于一切nN＋都成立，令n＝1,2，得11,413abab解得1,32.ab下面用数学归纳法证明a＝13，b＝2时等式对一切nN＋都成立．(1)当n＝1时，已证．(2)假设当n＝k(kN＋)时等式成立，即312＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝13k(2k2＋1)；则...