第三章数系的扩充与复数的引入检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.复数z是实数的充分不必要条件为()A.|z|=zB.z¿zC.z2是实数D.z+z是实数解析:若|z|=z,则z一定是实数,而z是实数,|z|不一定等于z.故选A.答案:A2.设复数z=(a+i)2在复平面上对应的点在虚轴负半轴上,则实数a的值是()A.-1B.1C.√2D.−√3解析:z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,根据条件有{a2-1=0,2a<0,解得a=-1.答案:A3.设复数z满足1-z1+z=i¿i是虚数单位),则|z+1|=()A.0B.1C.√2D.2解析: 1-z1+z=i,∴z¿1-i1+i=−i,∴|z+1|=|-i+1|¿√2.答案:C4.复数2i31-i的虚部为()A.iB.-iC.1D.-1解析: 2i31-i=-2i(1+i)2=1-i,∴复数2i31-i的虚部为-1.答案:D5.复数z1,z2在复平面内分别对应点A,B,z1=3+4i,将点A绕原点O逆时针旋转90°得到点B,则z2=()A.3-4iB.-4-3iC.-4+3iD.-3-4i解析:由题意知A(3,4),B(-4,3),即z2=-4+3i,故z2=−4-3i.答案:B16.当z=−1-i√2时,z100+z50+1的值是()A.1B.-1C.iD.-i解析:原式=(-1-i√2)100+(-1-i√2)50+1=[(1-i√2)2]50+[(1-i√2)2]25+1=(-i)50+(-i)25+1=-i.答案:D7.若关于x的方程x2+(1-2i)x+a-i=0(a∈R)有实数根,则这个实数根等于()A.12B.−12C.14D.−14解析:设实数根为x0,则有x02+¿1-2i)x0+a-i=0,即¿+a)+(-2x0-1)i=0,因此必有-2x0-1=0,解得x0=−12.答案:B8.已知z1=1+i(其中i为虚数单位),z1为复数z1的共轭复数,1z2=1z1+1z1,则复数z2在复平面所对应点的坐标为()A.(0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(2,0)解析:因为z1=1+i,所以z1=1-i.由1z2=1z1+1z1,得1z2=11+i+11-i=1-i(1+i)(1-i)+1+i(1+i)(1-i)=1-i+1+i2=1,则z2=1,即z2在复平面内对应的点为(1,0),故选B.答案:B9.若z=cosθ+isinθ(i为虚数单位),则使z2=-1的θ的值可能是()A.π6B.π4C.π3D.π2解析: z2=(cosθ+isinθ)2=(cos2θ-sin2θ)+2isinθcosθ=cos2θ+isin2θ=-1,∴{sin2θ=0,cos2θ=-1,∴2θ=2kπ+π(k∈Z).∴θ=kπ+π2¿k∈Z),令k=0,得θ¿π2.故选D.答案:D10.设复数z=lg(m2-1¿+√1-mi¿m∈R),则z在复平面内的对应点()A.一定不在第一、二象限B.一定不在第二、三象限C.一定不在第三、四象限D.一定不在第二、三、四象限2解析:因为{m2-1>0,1-m≥0,所以m<-1,此时lg(m2-1)可正、可负,√1-m>√2,故选C.答案:C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知(1-i)2z=1+i(i为虚数单位),则复数z=.答案:-1-i12.若复数a+3i1+2i¿a∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为.解析:a+3i1+2i=(a+3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=(a+6)+(3-2a)i5. 复数a+3i1+2i是纯虚数,∴{a+65=0,3-2a5≠0,解得a=-6.答案:-613.在复平面内,与复数z¿5i1+2i所对应的点关于虚轴对称的点为A,则点A对应的复数为.解析:依题意,得复数z¿5i(1-2i)(1+2i)(1-2i)=i¿1-2i)=2+i,其对应的点的坐标是(2,1),因此点A(-2,1)对应的复数为-2+i.答案:-2+i14.对于非零实数a,b,以下四个命题都成立:①a+1a≠0;②(a+b)2=a2+2ab+b2;③若|a|=|b|,则a=±b;④若a2=ab,则a=b.那么,对于非零复数a,b,仍然成立的命题的所有序号是.解析:对于命题①,当a=i时,a+1a=0,故命题①不成立;对于命题③,当a=3+4i,b=3-4i,则|a|=|b|,故命题③不成立;命题②④对于非零复数a,b均仍然成立.答案:②④15.复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在复平面内对应的点分别为A,B,C,若∠BAC是钝角,则实数c的取值范围为.解析:在复平面内,与z1,z2,z3对应的三点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6).由∠BAC是钝角,得⃗AB·⃗AC<0,且B,A,C不共线,即(-3,-4)·(c-3,2c-10)<0,解得c¿4911.其中当c=9时,⃗AC=¿6,8)=-2⃗AB,三点共线,故c≠9.答案:{c|c>4911,且c≠9}3三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)设复数z¿(1+i)2+3(1-i)2+i,若z2+az+b=1+i,求实数a,b的值.解:z¿(1+i)2+3(1-i)2+i=2i+3(1-i)2+i=3-i2+i=(3-i)(2-i)(2+i)(2-i)=1-i.将z=1-i代入z2+az+b=1+i,得(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,即(a+b)-(a+2)i=1+i,∴{a+b=1,-(a+2)=1,∴{a=-3,b=4.17.(8分)若虚数z1,z2是一个实系数一元二次方程的两个根,且z12=z2,求z1+z2.解:因...
