高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题与量词课堂探究 新人教B版选修1-1-新人教B版高二选修1-1数学试题VIP免费

1.1命题与量词课堂探究探究一命题及其真假判断判断某个语句是否是命题的方法是先看句型，一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题，其次要看能不能判断其真假．判定一个命题真假的方法：判定一个命题为真，要经过证明；判定一个命题为假，则只需举一反例即可．【典型例题1】下列语句是不是命题？如果是，说明其真假：(1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c是二次函数吗？(2)偶数的平方仍是偶数；(3)若空间的两条直线垂直，则这两条直线相交；(4)两个向量的夹角可以等于π.思路分析：(1)该语句是疑问句，不能判断其真假，故不是命题；(2)因所有偶数的平方都是偶数，无一例外，故该语句是命题且为真命题；(3)根据空间立体几何知识知，垂直的两条直线不一定相交，故所给语句是命题且为假命题；(4)根据两个向量夹角的定义知，两个向量反向时夹角为π，故所给语句是命题且为真命题．解：(1)不是；(2)是，真命题；(3)是，假命题；(4)是，真命题．探究二全称命题与存在性命题真假的判定要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合中的所有元素x，验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出限定集合中的一个x＝x0，使p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举一个反例”)．要判定一个存在性命题是真命题，只要在限定集合中找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在性命题就是假命题．【典型例题2】指出下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假：(1)p：所有正方形都是矩形；(2)q：x∈R，x2－x＋≥0；(3)r：x∈Z，x2＋2x≤0；(4)s：至少有一个正整数x，使x3＋1＝0.思路分析：利用全称命题和存在性命题的定义判定命题是全称命题还是存在性命题．(1)利用正方形的定义进行判定；(2)将不等式的左边配方后进行判定；(3)将x＝－1代入不等式后进行判定；(4)解方程x3＋1＝0后，依据方程的解进行判定．解：(1)命题p是全称命题，因为正方形是邻边相等的矩形，所以命题p是真命题；(2)命题q是全称命题，因为x∈R，x2－x＋＝2≥0，所以命题q是真命题；(3)命题r是存在性命题，因为－1∈Z，当x＝－1时，能使x2＋2x≤0成立，所以命题r是真命题；(4)命题s是存在性命题，因为由x3＋1＝0，得x＝－1，而－1不是正整数，因此，没有正整数满足x3＋1＝0，所以1命题s是假命题．规律小结全称命题与存在性命题的不同表述方法：命题全称命题“x∈A，p(x)”存在性命题“x∈A，p(x)”实质全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题存在性命题就是陈述某集合中有(存在)一些元素都具有某种性质的命题表述方式①所有x∈A，p(x)成立②对一切x∈A，p(x)成立③对每一个x∈A，p(x)成立④任选一个x∈A，p(x)成立⑤凡x∈A，都有p(x)成立①存在x∈A，使p(x)成立②至少有一个x∈A，使p(x)成立③对有些x∈A，p(x)成立④对某个x∈A，p(x)成立⑤有一个x∈A，使p(x)成立探究三易错辨析易错点全称命题理解不全面【典型例题3】若关于x的不等式ax2＋ax＋1＞0对任意实数x都成立，求a的取值范围．错解：要使ax2＋ax＋1＞0恒成立，则有解得0＜a＜4.错因分析：这是一个全称命题，意味着每个x都满足ax2＋ax＋1＞0.本题错解中，只考虑了a≠0时的情况，忽视了a＝0时的判断．正解：当a＝0时，1＞0，显然成立．当a≠0时，要使ax2＋ax＋1＞0恒成立，则即0＜a＜4.综上，a的取值范围是0≤a＜4.2