四、渐开线与摆线A级基础巩固一、选择题1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是()A．只有圆才有渐开线B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C．正方形也可以有渐开线D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出的渐开线形状就不同解析：本题容易错选A.渐开线不是圆独有的，其他图形，例如椭圆、正方形也有．渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．答案：C2．直径为12的圆的摆线的参数方程是()A.(φ为参数)B.(φ为参数)C.(φ为参数)D.(φ为参数)解析：因为2r＝12.所以r＝6.所以该圆的摆线的参数方程为(φ为参数)．故选A.答案：A3．下列各点中，在圆的摆线(φ为参数)上的是()A．(π，0)B．(π，1)C．(2π，2)D．(2π，0)答案：B4．圆(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是()A．πB．3πC．6πD．10π解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为(φ为参数)，把y＝0代入，得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)，故x＝3φ－3sinφ＝6kπ(k∈Z)．答案：C5．已知一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B之间的距离为()A.－1B.C.D.解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得即A，所以|AB|＝＝.答案：C二、填空题6．已知一个圆的摆线的参数方程是(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是________；一个拱的跨度为________．1解析：当φ＝π时，y＝3－3cosπ＝6为拱高；当φ＝2π时，x＝3×2π－3sin2π＝6π为跨度．答案：66π7．已知圆的渐开线的参数方程是(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数θ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.把θ＝代入曲线的参数方程，得x＝＋，y＝－，由此可得对应的坐标为.答案：28．已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上的一点，对应的参数φ＝，则点P的坐标为________．解析：由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数)．当φ＝时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为P(π，2)．答案：(π，2)三、解答题9．已知渐开线的参数方程是(θ为参数)，求当参数θ为和π时对应的渐开线上的两点A、B之间的距离．解：当θ＝时，当θ＝π时，所以A(π，2)，B(－2，2π)，所以|AB|＝＝.10．渐开线方程为(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到曲线C，求曲线C的方程，及焦点坐标．解：由渐开线方程可知，基圆的半径为6，则圆的方程为x2＋y2＝36.把横坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆方程＋y2＝36，即＋＝1，对应的焦点坐标为(6，0)和(－6，0)．B级能力提升1.如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是()A．3πB．4πC．5πD．6π解析：根据渐开线的定义可知，AE是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得EF是半径为2的圆周长，长度为π；FG是半径为3的圆周长，长度为；GH是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.答案：C2．摆线(t为参数，0≤t<2π)与直线y＝4的交点的直角坐标为________________．解析：由题设得4＝4(1－cost)得cost＝0.因为t∈[0，2π)，所以t1＝，t2＝，代入参数方程得到对应的交点的坐标为(2π－4，4)，(6π＋4，4)．2答案：(2π－4，4)，(6π＋4，4)3．已知圆C的参数方程(α为参数)和直线l的普通方程x－y－6＝0.(1)如果把圆心平移到原点O，那么平移后圆和直线满足什么关系？(2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程．解：(1)圆C平移后圆心为O(0，0)，它到直线x－y－6＝0的距离d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线的方程是(φ为参数)．3
