高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题综合提升案 新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学试题VIP专享VIP免费

3-4生活中的优化问题综合提升案·核心素养达成[限时40分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且销量Q与零售价P有如下关系：Q＝8300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)A．30元B．60元C．28000元D．23000元解析毛利润为(P－20)Q，即f(P)＝(P－20)(8300－170P－P2)，f′(P)＝－3P2－300P＋11700＝－3(P＋130)(P－30)．令f′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍去)．又P∈[20，＋∞)，故f(P)max＝f(P)极大值，故当P＝30时，毛利润最大，∴f(P)max＝f(30)＝23000(元)．答案D2．把长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是A.cm2B．4cm2C．3cm2D．2cm2解析设一个三角形的边长为xcm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为S＝x2＋(4－x)2＝x2－2x＋4.令S′＝x－2＝0，则x＝2，所以Smin＝2.答案D3．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/时，当速度为10海里/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲、乙两地相距800海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为A．30海里/时B．25海里/时C．20海里/时D．10海里/时解析设当航行速度为x海里/时时燃料费为y元/时，则y＝kx3.又当x＝10时，y＝25，∴k＝.若从甲地到乙地以x海里/时的速度航行，则总费用：z＝×＝20x2＋，∴z′＝40x－，令z′＝0，得x＝20.故当航速为20海里/时时总费用最低．答案C4．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x，0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是A．150B．200C．250D．300解析由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20000，0≤x≤390，由P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0；当3000)，求导数，得l′＝2－.令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)．当016时，l′>0，所以y＝16是函数l＝2y＋(y>0)的极小值点，也是最小值点，此时，x＝＝32.所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省．答案A6．设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为A.B.C.D．2解析设底面边长为x，侧棱长为l，则V＝x2·sin60°·l，∴l＝，∴S表＝2S底＋3S侧＝x2·sin60°＋3·x·l＝x2＋.∴S′＝x－＝0，∴x3＝4V，即x＝.又当x∈(0，)时，y′＜0；x∈(，V)时，y′＞0，∴当x＝时，表面积最小．答案C二、填空题(每小题5分，共15分)7．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为________cm.解析设该漏斗的高为xcm，体积为Vcm3，则底面半径为cm，V＝πx(202－x2)＝π(400x－x3)(00；当0)，∴S′＝8x－＝(x3－27)．令S′＝0，解得S在(0，＋∞)内的唯一可能的极值点为x＝3，∴x＝3时函数取极值且就是它的最值．答案6cm3cm4cm9．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．解析设CD＝x，则点C坐标为，点B坐标为，∴矩形ABCD的面积S＝f(x)＝x...