高中数学 第一章 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介检测（含解析）新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学试题VIP免费

四、柱坐标系与球坐标系简介A级基础巩固一、选择题1．空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标对应的点在平面Oyz内的是()A.B.C.D.解析：由P(ρ，θ，z)，当θ＝时，点P在平面Oyz内．答案：A2．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为()A.B.C.D.解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，因为点M的球坐标为，所以x＝1·sincos＝，y＝1·sinsin＝，z＝1·cos＝.所以M的直角坐标为.答案：B3．设点M的直角坐标为(2，0，2)，则点M的柱坐标为()A．(2，0，2)B．(2，π，2)C．(，0，2)D．(，π，2)解析：设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，所以ρ＝＝2，tanθ＝＝0，所以θ＝0，z＝2，所以点M的柱坐标为(2，0，2)．答案：A4．在空间直角坐标系中的点M(x，y，z)，若它的柱坐标为，则它的球坐标为()A.B.C.D.解析：因为M点的柱坐标为M，设点M的直角坐标为(x，y，z)．所以x＝3cos＝，y＝3sin＝，z＝3，所以M点的直角坐标为.设点M的球坐标为(γ，φ，θ)．γ是球面的半径，φ为向量OM在xOy面上投影到x正方向夹角，θ为向量OM与z轴正方向夹角．所以r＝＝3，容易知道φ＝，同时结合点M的直角坐标为，可知cosθ＝＝＝，所以θ＝，所以M点的球坐标为.答案：B5．在直角坐标系中，点(2，2，2)关于z轴的对称点的柱坐标为()A.B.C.D.1解析：(2，2，2)关于z轴的对称点为(－2，－2，2)，则ρ＝＝2，tanθ＝＝＝1，因为点(－2，－2)在平面Oxy的第三象限内，所以θ＝，所以所求柱坐标为.答案：C二、填空题6．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为_______，它的柱坐标是________．答案：(－2，2，2)7．已知在柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|＝________，|MN|＝________．解析：设点M在平面Oxy上的射影为P，连接PN，则PN为线段MN在平面Oxy上的射影．因为MN⊥直线Oy，MP⊥平面Oxy，所以PN⊥直线Oy.所以|OP|＝ρ＝2，|PN|＝＝1，所以|OM|＝＝＝3.在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，所以|MN|＝＝＝.答案：38．已知点M的球坐标为，则点M到Oz轴的距离为________．解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，则由(r，φ，θ)＝，知x＝4sincos＝－2，y＝4sinsin＝2，z＝4cos＝2，所以点M的直角坐标为(－2，2，2)．故点M到Oz轴的距离为＝2.答案：2三、解答题9．设点M的直角坐标为(1，1，)，求点M的柱坐标与球坐标．解：由坐标变换公式，可得ρ＝＝，tanθ＝＝1，θ＝(点1，1)在平面xOy的第一象限．r＝＝＝2.由rcosφ＝z＝(0≤φ≤π)，得cosφ＝＝，φ＝.所以点M的柱坐标为，球坐标为.10．在柱坐标系中，点M的柱坐标为，求点M到原点O的距离．解：设点M的直角坐标为(x，y，z)．由(ρ，θ，z)＝知x＝ρcosθ＝2cosπ＝－1，y＝2sinπ＝，因此|OM|＝＝＝3.B级能力提升1．空间点P的柱坐标为(ρ，θ，z)，点P关于点O(0，0，0)的对称点的坐标为(0<θ≤π)2()A．(－ρ，－θ，－z)B．(ρ，θ，－z)C．(ρ，π＋θ，－z)D．(ρ，π－θ，－z)解析：点P(ρ，θ，z)关于点O(0，0，0)的对称点为P′(ρ，π＋θ，－z)．答案：C2．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为Oxy坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z轴正向，本初子午线所在平面为Ozx坐标面，如图所示，若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为________．解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为.答案：3．在柱坐标系中，求满足围成的几何体的体积．解：根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹如图所示，是以直线Oz为轴、轴截面为正方形的圆柱，圆柱的底面半径r＝1，h＝2，所以V＝Sh＝πr2h＝2π.3