第23讲两角和与差的三角函数1．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于(D)A．0B.C.D．1原式＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin90°＝1.2．(2016·广州市综合测试(一))已知f(x)＝sin(x＋)，若sinα＝(<α<π)，则f(α＋)＝(B)A．－B．－C.D.由sinα＝(<α<π)，得cosα＝－.所以f(α＋)＝sin(α＋＋)＝sin(α＋)＝(sinα＋cosα)＝×(－)＝－.3．(2017·西安三模)已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是(C)A．－B.C．－D.因为cos(α－)＋sinα＝cosα＋sinα＝sin(α＋)＝，所以sin(α＋)＝.所以sin(α＋)＝sin(α＋＋π)＝－.4．(2015·重庆卷)若tanα＝2tan，则＝(C)A．1B．2C．3D．4因为cos(α－π)＝cos(α＋－)＝sin(α＋)，所以原式＝＝＝.又因为tanα＝2tan，所以原式＝＝3.5．(2017·新课标卷Ⅰ)已知α∈(0，)，tanα＝2，则cos(α－)＝.cos(α－)＝cosαcos＋sinαsin＝(cosα＋sinα)．又由α∈(0，)，tanα＝2，知sinα＝，cosα＝，所以cos(α－)＝×(＋)＝.6．(2017·江苏卷)若tan(α－)＝，则tanα＝.(方法一)因为tan(α－)＝＝＝，所以6tanα－6＝1＋tanα(tanα≠－1)，所以tanα＝.(方法二)tanα＝tan[(α－)＋]＝＝＝.7．已知α是第二象限角，sinα＝，β为第三象限角，tanβ＝.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求cos(2α－β)的值．(1)因为α是第二象限角，sinα＝，所以cosα＝－＝－，tanα＝＝－，又tanβ＝，所以tan(α＋β)＝＝.(2)因为β为第三象限角，tanβ＝，所以sinβ＝－，cosβ＝－.又sin2α＝2sinαcosα＝－，cos2α＝1－2sin2α＝，所以cos(2α－β)＝cos2αcosβ＋sin2αsinβ＝.8．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)某房间的室温T(单位：摄氏度)与时间t(单位：小时)的函数关系是：T＝asint＋bcost，t∈(0，＋∞)，其中a，b是正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则a＋b的最大值是(A)A．5B．10C．10D．20由辅助角公式：T＝asint＋bcost＝sin(t＋φ)，其中φ满足条件：sinφ＝，cosφ＝.则函数T的值域为[－，]，由室内最大温差为2＝10，得＝5，a2＋b2＝25，设a＝5cosθ，b＝5sinθ，则a＋b＝5cosθ＋5sinθ＝5sin(θ＋)，故a＋b≤5，当且仅当a＝b＝时等号成立．9．若cosxcosy＋sinxsiny＝，sin2x＋sin2y＝，则sin(x＋y)的值为.由题知cos(x－y)＝，sin2x＋sin2y＝sin[(x＋y)＋(x－y)]＋sin[(x＋y)－(x－y)]＝2sin(x＋y)cos(x－y)＝，所以sin(x＋y)＝.10．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．由条件得cosα＝，cosβ＝.因为α，β为锐角，所以sinα＝＝，同理可得sinβ＝.所以tanα＝7，tanβ＝.(1)tan(α＋β)＝＝－3.(2)因为tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝＝－1.因为α，β为锐角，所以0<α＋2β<，所以α＋2β＝.
